Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função:
onde
é o peso (em quilogramas),
é a altura (em centímetros) e
é medido em polegadas quadradas. Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é o peso (em quilogramas),
é a altura (em centímetros) e
é a área da superfície em polegadas quadradas.
Pede-se a derivada parcial de em relação a
avaliada no ponto
, isto é, calcular
Pede-se a derivada parcial de
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
Quando temos uma função de duas variáveis , a derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
fica fixo. Na prática, ao calcular
tratamos
como uma constante.
Quando temos uma função de duas variáveis
Regra que vamos usar (regra da potência): se
com
constante, então
Essa regra vale também quando multiplicamos por constantes: constantes multiplicativas saem da derivada.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada parcial e a regra da potência a
tratando
como constante, temos
Simplificando o expoente:
logo
Passo 4
Agora vamos avaliar em
. Primeiro calculamos o coeficiente numérico:
Portanto
Passo 5
Para calcular potências com expoentes não inteiros podemos usar a relação
ou seja, calcular
e então exponenciar. Vou mostrar os valores aproximados usados:
Calculemos
e
(valores aproximados):
Multiplicando pelos expoentes:
Agora exponenciamos:
(Estas aproximações foram feitas mantendo 4–5 casas relevantes para garantir precisão razoável na resposta.)
Passo 6
Multiplicando tudo:
Primeiro
.
Então .
Então
Portanto, a derivada parcial avaliada no ponto é aproximadamente
. Em termos de unidades, isto representa a variação de
(polegadas quadradas) por variação em
(quilograma), ou seja, aproximadamente
.
Força aí — parece complicado, mas o procedimento é sempre: aplicar a regra da potência, tratar as outras variáveis como constantes, e, para avaliar potências fracionárias, usar
.