Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função:
S=f(w, h)=0,0072 w^{0,425} h^{0,725}
onde w é o peso (em quilogramas), h é a altura (em centímetros) e S é medido em polegadas quadradas. Calcule as derivadas parciais:
\quad \frac{\partial S}{\partial w}(73,178)

Passo 1

O enunciado dá a função
S=f(w,h)=0,0072\,w^{0,425}h^{0,725},
onde w é o peso (em quilogramas), h é a altura (em centímetros) e S é a área da superfície em polegadas quadradas.
Pede-se a derivada parcial de S em relação a w avaliada no ponto (w,h)=(73,178), isto é, calcular
\frac{\partial S}{\partial w}(73,178).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
Quando temos uma função de duas variáveis f(w,h), a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial w} mede a taxa de variação de f quando apenas w varia e h fica fixo. Na prática, ao calcular \frac{\partial}{\partial w} tratamos h como uma constante.
Regra que vamos usar (regra da potência): se g(w)=w^a com a constante, então
\frac{d}{dw}w^a = a\,w^{a-1}.
Essa regra vale também quando multiplicamos por constantes: constantes multiplicativas saem da derivada.

Passo 3

Aplicando a definição de derivada parcial e a regra da potência a
S(w,h)=0,0072\,w^{0,425}h^{0,725},
tratando h como constante, temos
\frac{\partial S}{\partial w}(w,h) =0,0072\cdot 0,425\;w^{0,425-1}\;h^{0,725}.
Simplificando o expoente:
0,425-1 = -0,575,
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\frac{\partial S}{\partial w}(w,h)=0,0072\cdot 0,425\;w^{-0,575}\;h^{0,725}.

Passo 4

Agora vamos avaliar em (w,h)=(73,178). Primeiro calculamos o coeficiente numérico:
0,0072\cdot 0,425 = 0,00306.
Portanto
\frac{\partial S}{\partial w}(73,178)=0,00306\cdot 73^{-0,575}\cdot 178^{0,725}.

Passo 5

Para calcular potências com expoentes não inteiros podemos usar a relação
x^a = e^{a\ln x},
ou seja, calcular a\ln x e então exponenciar. Vou mostrar os valores aproximados usados:
Calculemos \ln 73 e \ln 178 (valores aproximados):
\ln 73 \approx 4,290459441,\qquad \ln 178 \approx 5,181783553.
Multiplicando pelos expoentes:
-0,575\cdot \ln 73 \approx -0,575\cdot 4,290459441 \approx -2,467014179,
0,725\cdot \ln 178 \approx 0,725\cdot 5,181783553 \approx 3,756793076.
Agora exponenciamos:
73^{-0,575}=e^{-2,467014179}\approx 0,08483,
178^{0,725}=e^{3,756793076}\approx 42,85.
(Estas aproximações foram feitas mantendo 4–5 casas relevantes para garantir precisão razoável na resposta.)

Passo 6

Multiplicando tudo:
0,00306\cdot 0,08483\cdot 42,85
Primeiro \;0,08483\cdot 42,85\approx 3,635.
Então \;0,00306\cdot 3,635\approx 0,01112.
Portanto, a derivada parcial avaliada no ponto é aproximadamente 0,01112. Em termos de unidades, isto representa a variação de S (polegadas quadradas) por variação em w (quilograma), ou seja, aproximadamente 0,01112\\ \text{in}^2/\text{kg}.
Força aí — parece complicado, mas o procedimento é sempre: aplicar a regra da potência, tratar as outras variáveis como constantes, e, para avaliar potências fracionárias, usar x^a=e^{a\ln x}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial S}{\partial w}(73,178)=0,01112\\ \text{in}^2/\text{kg}

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