Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{x y}=u_{y x}
u=\cos \left(x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função u e pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, isto é, mostrar que os derivados parciais mistos são iguais:
u=\cos\left(x^{2}y\right).
Pergunta a responder: calcular u_{x y} e u_{y x} e verificar que u_{x y}=u_{y x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita u(x,y)=\cos\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Não há outras restrições; assume-se que x,y variam em um aberto onde tudo é bem definido.

Passo 2

O que precisamos mostrar e por quê: o Teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de u são contínuas numa vizinhança de um ponto, então os derivados parciais mistos são iguais naquele ponto:
u_{xy}=u_{yx}.
Aqui vamos calcular explicitamente u_x, u_{x y}, u_y e u_{y x}. Além disso, justificarei por que as segundas derivadas são contínuas (então a hipótese do teorema vale) — mas primeiro vamos às contas.
Lembrete didático rápido (útil na prova):
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se v(x,y)=f(g(x,y)), então v_x=f'(g(x,y))\cdot g_x e v_y=f'(g(x,y))\cdot g_y.
  • Regra do produto (quando aparece produto de funções de x,y): (ab)_x = a_x b + a b_x.

Passo 3

Calcule u_x usando a regra da cadeia. Tome f(t)=\cos t e g(x,y)=x^{2}y. Então f'(t)=-\sin t.
Aplicando a cadeia,
u_x = f'\bigl(g(x,y)\bigr)\cdot g_x = -\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr).
Agora calcule g_x. Como g(x,y)=x^{2}y, tratando y como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x\,y.
Logo,
u_x = -\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot 2x\,y = -2x y\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 4

Calcule u_{x y} derivando u_x em relação a y. Temos
u_x = -2x\,y\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr).
Aqui aparece um produto entre -2x (que é constante em relação a y) e y\sin(x^{2}y). Vou aplicar a regra do produto para a parte dependente de y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin(x^{2}y)\bigr) = 1\cdot \sin(x^{2}y) + y\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(x^{2}y)\bigr).
Usando a cadeia na derivada de \sin(x^{2}y):
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(x^{2}y)\bigr) = \cos(x^{2}y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr) = \cos(x^{2}y)\cdot x^{2}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\sin(x^{2}y)\bigr) = \sin(x^{2}y) + y\cdot x^{2}\cos(x^{2}y).
Multiplicando pelo fator -2x (que veio de u_x), obtemos
u_{x y} = -2x\Bigl(\sin(x^{2}y) + y x^{2}\cos(x^{2}y)\Bigr).
Expandindo (se preferir),
u_{x y} = -2x\sin(x^{2}y) - 2x^{3}y\cos(x^{2}y).

Passo 5

Agora calcule u_y diretamente a partir de u. Usando a regra da cadeia com f(t)=\cos t e g(x,y)=x^{2}y,
u_y = -\sin\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr).
Como \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2} (agora x é tratado como constante),
u_y = -x^{2}\sin\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 6

Calcule u_{y x} derivando u_y em relação a x. Temos
u_y = -x^{2}\sin(x^{2}y).
Use a regra do produto (aqui o produto entre -x^2 e \sin(x^{2}y)):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2}\sin(x^{2}y)\bigr) = -2x\sin(x^{2}y) + (-x^{2})\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(x^{2}y)\bigr).
A derivada de \sin(x^{2}y) em relação a x (pela cadeia) é
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(x^{2}y)\bigr) = \cos(x^{2}y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr) = \cos(x^{2}y)\cdot 2x\,y.
Substituindo,
u_{y x} = -2x\sin(x^{2}y) + (-x^{2})\cdot \bigl(2x\,y\cos(x^{2}y)\bigr).
Simplificando o segundo termo:
(-x^{2})\cdot (2x\,y\cos(\cdot)) = -2x^{3}y\cos(x^{2}y),
logo
u_{y x} = -2x\sin(x^{2}y) - 2x^{3}y\cos(x^{2}y).

Passo 7

Compare u_{x y} e u_{y x}. Dos passos anteriores obtivemos
u_{x y} = -2x\sin(x^{2}y) - 2x^{3}y\cos(x^{2}y)
e
u_{y x} = -2x\sin(x^{2}y) - 2x^{3}y\cos(x^{2}y).
Portanto, os dois derivados parciais mistos coincidem.

Passo 8

Justificativa sobre a continuidade das derivadas de segunda ordem (para usar o Teorema de Clairaut): a função u(x,y)=\cos(x^{2}y) é composição de funções polinomiais e funções trigonométricas suaves; é infinitamente diferenciável em todo o plano \mathbb{R}^{2}. Assim todas as derivadas de segunda ordem são contínuas em qualquer vizinhança, logo a hipótese do Teorema de Clairaut é satisfeita. Assim além do cálculo direto, o teorema garante u_{xy}=u_{yx}.

Resposta

u_{x y}=u_{y x}=-2x\sin\bigl(x^{2}y\bigr)-2x^{3}y\cos\bigl(x^{2}y\bigr)

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