Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
u=\cos \left(x^{2} y\right)
u=\cos \left(x^{2} y\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, isto é, mostrar que os derivados parciais mistos são iguais:
Pergunta a responder: calcular
e
e verificar que
.
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - Não há outras restrições; assume-se que
variam em um aberto onde tudo é bem definido.
Passo 2
O que precisamos mostrar e por quê: o Teorema de Clairaut afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem de
são contínuas numa vizinhança de um ponto, então os derivados parciais mistos são iguais naquele ponto:
Aqui vamos calcular explicitamente
,
,
e
. Além disso, justificarei por que as segundas derivadas são contínuas (então a hipótese do teorema vale) — mas primeiro vamos às contas.
Lembrete didático rápido (útil na prova):
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
, então e . - Regra do produto (quando aparece produto de funções de
): .
Passo 3
Calcule
usando a regra da cadeia. Tome
e
. Então
.
Aplicando a cadeia,
Aplicando a cadeia,
Agora calcule
. Como
, tratando
como constante,
Logo,
Passo 4
Calcule
derivando
em relação a
. Temos
Aqui aparece um produto entre
(que é constante em relação a
) e
. Vou aplicar a regra do produto para a parte dependente de
:
Usando a cadeia na derivada de
:
Portanto
Multiplicando pelo fator
(que veio de
), obtemos
Expandindo (se preferir),
Passo 5
Agora calcule
diretamente a partir de
. Usando a regra da cadeia com
e
,
Como
(agora
é tratado como constante),
Passo 6
Calcule
derivando
em relação a
. Temos
Use a regra do produto (aqui o produto entre
e
):
A derivada de
em relação a
(pela cadeia) é
Substituindo,
Simplificando o segundo termo:
logo
Passo 7
Compare
e
. Dos passos anteriores obtivemos
e
Portanto, os dois derivados parciais mistos coincidem.
Passo 8
Justificativa sobre a continuidade das derivadas de segunda ordem (para usar o Teorema de Clairaut): a função
é composição de funções polinomiais e funções trigonométricas suaves; é infinitamente diferenciável em todo o plano
. Assim todas as derivadas de segunda ordem são contínuas em qualquer vizinhança, logo a hipótese do Teorema de Clairaut é satisfeita. Assim além do cálculo direto, o teorema garante
.