O modelo atômico de Bohr, apresentado em 1913, introduziu a importante ideia da quantização da energia no estudo da matéria. Com seu modelo, foi possível explicar com sucesso os espectros de absorção atômica para o hidrogênio.
Para resolver as questões a seguir considere a primeira órbita ( n=1 ) e os íon hidrogenóides de número atômico Z=3 e Z=94.
Quanto tempo demora para um elétron percorrer completamente a órbita n=1 para cada íon hidrogenóide? Explique os resultados.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar o modelo de Bohr (aquele de 1913, com órbitas circulares e energia quantizada) pra calcular quanto tempo um elétron leva pra dar uma volta completa na primeira órbita (n=1) de íons hidrogenóides com Z=3 e Z=94.
Conteúdo: modelo atômico de Bohr.
O que precisamos:
  • Raio da órbita: .
  • Velocidade do elétron: .
  • Período da volta: .
    No nosso caso .

Passo 2

Vamos montar Tn = 2pi rnvn . Plugando Tn = 2pi ,n^2 a0ZZalpha cn =2pi,n^3 a0Z^2 ,alpha,c e T1 = 2pi a0Z^2,alpha,c em
Temos
Como queremos :

Passo 3

Agora, só falta botar valores numéricos.
Constantes:
a0 = 0,529times10^-10,m, alpha = 1137, c = 3,0times10^8,m/s
Pra Z genérico:
T1(Z)=2pi,(0,529times10^-10)Z^2,(1/137),(3,0times10^8)

Passo 4

Calculemos para cada Z:
  1. Z=3:
T1(3)=2picdot0,529times10^-109cdot(1/137)cdot3,0times10^8 approx1,7times10^-17,s
  1. Z=94:
T1(94)=2picdot0,529times10^-1094^2cdot(1/137)cdot3,0times10^8 approx1,7times10^-20,s

Passo 5

Explicando o porquê dos resultados:
Ao aumentar Z, o núcleo atrai o elétron com mais força, a órbita fica menor e o elétron vai mais rápido. Como , o tempo de volta cai quadráticamente com Z – logo com Z=94 o período vira algo absurdamente pequenininho.

Resposta

Para o íon com Z=3:
Para o íon com Z=94:

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