O modelo atômico de Bohr descreve os níveis de energia do elétron no átomo de hidrogênio com a seguinte equação:
E n=-h c R \frac{Z^{2}}{n^{2}}
onde:
  • En é a energia do nível n,
  • h é a constante de Planck =6,626 \times 10^{-34} \mathrm{Js},
  • \quad c é a velocidade da luz =2,997 \times 10^{8},
  • R é a constante de Rydberg =1,097 \times 10^{5} \mathrm{~cm}^{-1}
  • Z número atômico.
  • n é o número quântico principal (nível energético),
    a) Calcule a energia da transição eletrônica que ocorre quando um elétron no átomo de hidrogênio salta do nível \mathrm{n}=3 para o nível \mathrm{n}=2.
    b) Determine o comprimento de onda (em nm ) da radiação emitida nessa transição.
    c) Indique se essa transição pertence à série de Lyman, Balmer ou Paschen no espectro do hidrogênio.

Passo 1

O enunciado usa o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio ( Z=1) com a energia de cada nível dada por
E_n = -\,h\,c\,R\,\frac{Z^2}{n^2}.
Pede (a) a energia do fóton emitido no salto de n=3 para n=2, (b) o comprimento de onda correspondente em nanômetros e (c) a série espectral (Lyman, Balmer ou Paschen). Vamos usar a fórmula de diferença de energia e a relação \lambda = \frac{h\,c}{\Delta E}.

Passo 2

Para um salto de nível inicial n_i=3 ao nível final n_f=2, a energia do fóton emitido (positiva) é
\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = -\,h\,c\,R\,\Bigl(\tfrac{1}{n_i^2}-\tfrac{1}{n_f^2}\Bigr) = h\,c\,R\Bigl(\tfrac{1}{n_f^2}-\tfrac{1}{n_i^2}\Bigr).
Como Z=1, basta substituir n_i=3 e n_f=2.

Passo 3

Convertendo R=1{,}097\times10^{5}\,\mathrm{cm}^{-1}=1{,}097\times10^{7}\,\mathrm{m}^{-1} e usando
h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{Js}, \quad c=2{,}997\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
temos
h\,c\,R = (6{,}626\times10^{-34})(2{,}997\times10^{8})(1{,}097\times10^{7}) \approx 2{,}179\times10^{-18}\,\mathrm{J}.
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\Delta E = 2{,}179\times10^{-18}\times\Bigl(\tfrac{1}{2^2}-\tfrac{1}{3^2}\Bigr) =2{,}179\times10^{-18}\times\frac{1}{4}\Bigl(1-\tfrac{4}{9}\Bigr) =2{,}179\times10^{-18}\times\frac{5}{36} \approx3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J}.

Passo 4

O comprimento de onda é
\lambda = \frac{h\,c}{\Delta E} =\frac{2{,}179\times10^{-18}\,\mathrm{J\cdot m}}{3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J}} \approx7{,}189\times10^{-1}\,\mathrm{\mu m} =6{,}56\times10^{2}\,\mathrm{nm} =656\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Como o nível final é n_f=2, essa transição pertence à série de Balmer.

Resposta

a) \Delta E \approx 3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
b) \lambda \approx 656\,\mathrm{nm}.
c) Série de Balmer.

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