Um modelo de avião é construído na escala \mathrm{L}_{\mathrm{m}}: \mathrm{L}_{\mathrm{p}}. O modelo decola à velocidade de \mathrm{V}_{\mathrm{m}}. Após encontrar os grupos adimensionais do fenômeno, determine:
a) A velocidade de decolagem do protótipo, em km/h; (valor: 1/2)
b) A força necessária no modelo, em N ; (valor: 1/2)
Considere as seguintes observações:
i. Comprimento do protótipo, em m : número de caracteres do nome completo do aluno, incluindo os espaços, dividido por 2,5;
ii. Dados: \mathrm{L}_{\mathrm{m}}=1,00 \mathrm{~m}, \mathrm{~V}_{\mathrm{m}}=60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, \mathrm{F}_{\mathrm{p}}=14,50 \mathrm{kN}, \rho_{\mathrm{m}}=2,50 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \rho_{\mathrm{p}}=1,67 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{~g}_{\mathrm{m}}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~g}_{\mathrm{p}} =9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ;á
iii. Despreze o efeito da viscosidade dinâmica;
iv. Considere a seguinte função representativa do fenômeno: f(\mathrm{~F}, \rho, \mathrm{~V}, \mathrm{~L}, \mu, \mathrm{~g})=0;
v. \pi_{1}=f (base) \times g, \pi_{2}=f (base) \times \mathrm{F};
vi. Variáveis repetitivas: \rho, V, L.

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de avião em escala \tfrac{L_{m}}{L_{p}}. Sabemos que, em modelos hidrodinâmicos ou aerodinâmicos, as quantidades relevantes são força F, densidade \rho, velocidade V, comprimento L e aceleração da gravidade g. Como a viscosidade dinâmica é desprezada, a lista de variáveis é \{F,\rho,V,L,g\}
e o fenômeno é descrito pela função
f(F,\rho,V,L,g)=0.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Buckingham: há 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M,L,T), logo formamos 2 grupos adimensionais. Escolhemos como variáveis repetitivas \rho, V, L. Os dois \pi-grupos padrão para esse caso são
\pi_1=\frac{F}{\rho\,V^{2}L^{2}}, \qquad \pi_2=\frac{g\,L}{V^{2}}.

Passo 3

Pela semelhança, exige-se \pi_{2,m}=\pi_{2,p}. Assim,
\frac{g\,L_{m}}{V_{m}^{2}} = \frac{g\,L_{p}}{V_{p}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad V_{p} = V_{m}\,\sqrt{\frac{L_{p}}{L_{m}}}.

Passo 4

No modelo foi dado V_{m}=60 km/h e L_{m}=1{,}00 m. Como a fórmula acima é homogênea, podemos usar V_{m} em km/h e L_{m} em metros para obter V_{p} em km/h:
V_{p} =60\;\sqrt{\frac{L_{p}}{1{,}00}} =60\sqrt{L_{p}} \quad\bigl[\text{km/h}\bigr].

Passo 5

Para a força, igualamos \pi_{1,m}=\pi_{1,p}:
\frac{F_{m}}{\rho_{m}V_{m}^{2}L_{m}^{2}} = \frac{F_{p}}{\rho_{p}V_{p}^{2}L_{p}^{2}} \quad\Longrightarrow\quad F_{m} =F_{p}\,\frac{\rho_{m}}{\rho_{p}} \frac{V_{m}^{2}L_{m}^{2}}{V_{p}^{2}L_{p}^{2}}.
Substituindo V_{p}^{2}=V_{m}^{2}\tfrac{L_{p}}{L_{m}} e L_{m}=1, vem
F_{m} =F_{p}\,\frac{\rho_{m}}{\rho_{p}} \frac{1^{2}}{\bigl(L_{p}/1\bigr)\,L_{p}^{2}} =F_{p}\,\frac{\rho_{m}}{\rho_{p}}\, \frac{1}{L_{p}^{3}}.

Passo 6

Faltando apenas expressar L_{p}. Pelo enunciado,
L_{p}=\frac{N}{2{,}5}\quad[\text{m}],
em que N é o número de caracteres do nome completo (com espaços). Assim os resultados finais dependem de N, mas estão em forma fechada.

Resposta

a) Velocidade de decolagem do protótipo:
V_{p} =60\sqrt{L_{p}} \quad\text{km/h}, \quad L_{p}=\frac{N}{2{,}5}.
b) Força no modelo:
F_{m} =F_{p}\,\frac{\rho_{m}}{\rho_{p}}\, \frac{1}{L_{p}^{3}} =\;14{,}50\times10^{3}\,\frac{2{,}50}{1{,}67}\, \frac{1}{L_{p}^{3}} \quad\text{N}.

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