Problema 1: Uma das poucas situações para as quais podem ser obtidas soluções exatas para as equações de transferência por convecção envolve o chamado escoamento paralelo. Nesse caso, o movimento do fluido é em apenas uma direção. Considere o caso especial de escoamento paralelo envolvendo placas de extensão infinita, estacionárias e em movimento, separadas por uma distância L, com espaço entre elas preenchido por um fluido incompressível. Essa situação é conhecida como escoamento de Couette e ocorre, por exemplo, em um mancal de um eixo. Considere as propriedades do óleo de motor à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} : \rho =882,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 ; v=900 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} ; \mathrm{k}=0,145 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Faça as considerações necessárias a respeito das propriedades do fluido e do escoamento e responda às seguintes questões:
(a) Qual a forma apropriada da equação da continuidade?
(b) Iniciando com a equação da quantidade de movimento, determine a distribuição de velocidade entre as placas;
(c) Iniciando com as equações da conservação da energia, determine a distribuição de temperaturas entre as placas;
Considere condições para as quais o fluido é um óleo de motor com L=3 \mathrm{~mm}. A velocidade da placa móvel U=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e as temperaturas das placas estacionária e móvel são \mathrm{To}=10^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{TL}=30^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcule o fluxo de calor para cada placa e determine a máxima temperatura no óleo.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento de Couette entre duas placas paralelas afastadas de L=3,mm, com o fluido óleo de motor ( \rho=882{,}8,kg/ m^{3}, v=900\times10^{-6}, m^{2}/s, k=0,145,W/mK) e a placa superior movendo-se a U=10,m/s. A placa inferior está estacionária em y=0 e a superior em y=L. As temperaturas de contorno são T(0)=T_0=10^\circC e T(L)=T_L=30^\circC. Vamos:
  • (a) escrever a continuidade para escoamento paralelo;
  • (b) obter u(y) da equação de quantidade de movimento em regime permanente e sem gradiente de pressão;
  • (c) obter T(y) da conservação de energia incluindo dissipação viscosa, e calcular o fluxo de calor em cada placa e a temperatura máxima no interior do filme de óleo.

Passo 2

Para escoamento paralelo unidimensional em regime permanente temos o campo de velocidades \mathbf{u}=(u(y),0,0). A equação da continuidade incompressível é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Como v=w=0 e u independe de x, isto se satisfaz identicamente:
\frac{\partial u}{\partial x}=0.

Passo 3

Na direção x, a equação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) reduz-se a
\mu\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}y^2}=0,
onde \mu=\rho\,v. Integrando duas vezes e impondo u(0)=0, u(L)=U, obtemos
u(y)=\frac{U}{L}\,y,
ou seja, perfil linear de velocidades.

Passo 4

A equação de energia (sem geração volumétrica, mas com dissipação viscosa) em regime permanente e unidimensional é
k\frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}y^2}+\mu\Bigl(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Bigr)^{2}=0.
Como \mathrm{d}u/\mathrm{d}y=U/L constante, temos
\frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}y^2}=-\frac{\mu}{k}\Bigl(\frac{U}{L}\Bigr)^{2}.
Integramos duas vezes e aplicamos T(0)=T_{0}, T(L)=T_{L}. O resultado é
T(y)=T_{0} +\Bigl[\frac{\Delta T}{L}+\frac{\mu\,U^{2}}{2\,k\,L}\Bigr]\,y -\frac{\mu\,U^{2}}{2\,k\,L^{2}}\,y^{2},
com \Delta T=T_{L}-T_{0}.

Passo 5

O fluxo de calor por condução na placa inferior y=0 é
q''_{0}=-k\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}y}\right|_{y=0} =-k\Bigl[\frac{\Delta T}{L}+\frac{\mu\,U^{2}}{2\,k\,L}\Bigr] =-\frac{k\,\Delta T+\tfrac12\,\mu\,U^{2}}{L}.
Numericamente, \mu=\rho v=882{,}8\times900\times10^{-6}=0{,}79452,P a\cdot s e
k\,\Delta T=0{,}145\times20=2{,}9\,,\qquad \frac{\mu\,U^{2}}{2}=0{,}79452\times\frac{10^{2}}{2}=39{,}726.
Logo
q''_{0}=\frac{2{,}9+39{,}726}{0{,}003}=1,4209\times10^{4}\\ \text{W/m}^{2}.
Na placa superior y=L,
q''_{L}=-k\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}y}\right|_{y=L} =\;-\frac{k\,\Delta T-\tfrac12\,\mu\,U^{2}}{L} =\frac{39{,}726-2{,}9}{0{,}003} =1,2275\times10^{4}\\ \text{W/m}^{2}.

Passo 6

A temperatura máxima dá-se onde \mathrm{d}T/\mathrm{d}y=0. Resolvendo
\frac{\Delta T}{L}+\frac{\mu\,U^{2}}{2\,k\,L} -\frac{\mu\,U^{2}}{k\,L^{2}}\,y=0 \;\Longrightarrow\; y_{\max} =L\Bigl[\frac{k\,\Delta T}{\mu\,U^{2}}+\frac12\Bigr] \approx0{,}00161\\ \text{m}.
Substituindo em T(y) chega-se a
T_{\max}\approx88{,}9^\circ\text{C}.

Resposta

q''_{0}=1{,}421\times10^{4},W/ m^{2} (fluxo da placa inferior para o óleo) q''_{L}=1{,}228\times10^{4},W/ m^{2} (fluxo da placa superior para o óleo) T_{\max}=88{,}9^\circC, ocorrendo em y_{\max}=1{,}61,mm.

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