Problema 1: Uma das poucas situações para as quais podem ser obtidas soluções exatas para as equações de transferência por convecção envolve o chamado escoamento paralelo. Nesse caso, o movimento do fluido é em apenas uma direção. Considere o caso especial de escoamento paralelo envolvendo placas de extensão infinita, estacionárias e em movimento, separadas por uma distância L, com espaço entre elas preenchido por um fluido incompressível. Essa situação é conhecida como escoamento de Couette e ocorre, por exemplo, em um mancal de um eixo. Considere as propriedades do óleo de motor à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} : \rho=882,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 ; v=900 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} ; \mathrm{k}=0,145 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Faça as considerações necessárias a respeito das propriedades do fluido e do escoamento e responda às seguintes questões:
(a) Qual a forma apropriada da equação da continuidade?
(b) Iniciando com a equação da quantidade de movimento, determine a distribuição de velocidade entre as placas;
(c) Iniciando com as equações da conservação da energia, determine a distribuição de temperaturas entre as placas;
Considere condições para as quais o fluido é um óleo de motor com L=3 \mathrm{~mm}. A velocidade da placa móvel U=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e as temperaturas das placas estacionária e móvel são \mathrm{To}=10^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{TL}=30^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcule o fluxo de calor para cada placa e determine a máxima temperatura no óleo.
Passo 1
O enunciado trata do escoamento de Couette entre duas placas paralelas afastadas de L=3,mm, com o fluido óleo de motor (\rho=882{,}8,kg/m^{3}, v=900\times10^{-6},m^{2}/s, k=0,145,W/mK) e a placa superior movendo-se a U=10,m/s. A placa inferior está estacionária em y=0 e a superior em y=L. As temperaturas de contorno são T(0)=T_0=10^\circC e T(L)=T_L=30^\circC. Vamos:
(a) escrever a continuidade para escoamento paralelo;
(b) obter u(y) da equação de quantidade de movimento em regime permanente e sem gradiente de pressão;
(c) obter T(y) da conservação de energia incluindo dissipação viscosa, e calcular o fluxo de calor em cada placa e a temperatura máxima no interior do filme de óleo.
Passo 2
Para escoamento paralelo unidimensional em regime permanente temos o campo de velocidades \mathbf{u}=(u(y),0,0). A equação da continuidade incompressível é
q''_{0}=1{,}421\times10^{4},W/m^{2} (fluxo da placa inferior para o óleo) q''_{L}=1{,}228\times10^{4},W/m^{2} (fluxo da placa superior para o óleo) T_{\max}=88{,}9^\circC, ocorrendo em y_{\max}=1{,}61,mm.