Exemplo 7.4
Determinar a profundidade de escoamento para a qual um canal de seçāo retangular poderá escoar 50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, sabendo-se que a largura de base é de 10 m , o revestimento é em concreto em bom estado ( \mathrm{n}=0,014 ) e a declividade de 50 \mathrm{~cm} / \mathrm{km}.

Solução:

Estimando-se um valor inicial \mathrm{y}^{(0)}=2,00 \mathrm{~m} e levando em (7.11), utli-zando-se valores sucessivos, chega-se a y=2,31 \mathrm{~m} em 11 iterações. Uti-lizando-se a média de dois valores anteriores, a convergência foi obtida em 4 iterações.
Com a expressão (7.12), não houve oscilação e o valor y=2,31 m foi obtido com 3 iterações.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade y num canal retangular de base b=10\;\mathrm{m} para que escoe a vazão Q=50\;\mathrm{m}^3/\mathrm{s}. O revestimento tem coeficiente de Manning n=0,014 e a declividade é S=50\;\mathrm{cm}/\mathrm{km}=0{,}0005. O conteúdo utilizado é a fórmula de Manning para canais abertos e a método de Newton–Raphson para solução da equação não-linear.

Passo 2

A área molhada e o raio hidráulico são
A(y)=b\,y, \qquad P(y)=b+2y, \qquad R(y)=\frac{A(y)}{P(y)}=\frac{b\,y}{b+2y}.
A vazão segundo Manning é
Q(y) =\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,\sqrt{S}.
Precisamos achar y tal que
f(y)\;=\;Q(y)-50\;=\;0.

Passo 3

Para aplicar o método de Newton, calculamos a derivada f'(y). Como
Q(y)=\frac{1}{n}\sqrt{S}\,A\,R^{2/3},
temos
\frac{dA}{dy}=b, \qquad \frac{dR}{dy} =\frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{b\,y}{b+2y}\Bigr) =\frac{b^2}{(b+2y)^2}.
Logo,
f'(y) =\frac{dQ}{dy} =\frac{1}{n}\sqrt{S}\Bigl[ b\,R^{2/3} + A\cdot\frac{2}{3}\,R^{-1/3}\,\frac{b^2}{(b+2y)^2} \Bigr].

Passo 4

O esquema de iteração de Newton é
y_{i+1} = y_i - \frac{f(y_i)}{f'(y_i)}.
Escolhemos chute inicial y_0=2{,}00\;\mathrm{m}.
Calculamos em y_0:
A_0=20,\; P_0=14,\; R_0=1{,}4286,\; Q_0\approx40{,}51,\; f_0=-9{,}49,
f'_0\approx29{,}92 \quad\Longrightarrow\quad y_1=2{,}00-\frac{-9{,}49}{29{,}92}\approx2{,}317\;\mathrm{m}.

Passo 5

Repetimos em y_1:
A_1=23{,}17,\; P_1=14{,}634,\; R_1=1{,}5837,\; Q_1\approx50{,}31,\; f_1=0{,}31,
f'_1\approx31{,}63 \quad\Longrightarrow\quad y_2=2{,}317-\frac{0{,}31}{31{,}63}\approx2{,}307\;\mathrm{m}.

Passo 6

Mais uma iteração em y_2:
A_2=23{,}07,\; P_2=14{,}614,\; R_2=1{,}5794,\; Q_2\approx50{,}03,\; f_2=0{,}03,
f'_2\approx31{,}60 \quad\Longrightarrow\quad y_3=2{,}307-\frac{0{,}03}{31{,}60}\approx2{,}306\;\mathrm{m}.
A solução já está convergida em 3 iterações.

Resposta

A profundidade de escoamento é aproximadamente
y = 2{,}31\;\mathrm{m}.

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