Modelo Binomial Um teste de múltipla escolha contém 10 questões, cada uma com 4 alternativas, sendo apenas uma correta. Suponha que um aluno escolha as respostas de forma aleatória.
Qual é o número esperado de questões corretas? Qual é o desvio padrão do número que questões corretas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um teste de múltipla escolha com 10 perguntas, cada uma com 4 alternativas, e só uma está correta. O aluno está escolhendo as respostas totalmente por acaso. A gente quer descobrir qual é o número esperado de respostas certas e qual é o desvio padrão desse número. Para isso, vamos usar o Modelo Binomial, que é ótimo para situações como essa onde há um número fixo de tentativas (as perguntas), cada uma com duas possibilidades (certa ou errada), e as tentativas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Modelo Binomial. Ele é usado quando temos:
  1. Número fixo de tentativas (n): aqui, são 10 perguntas.
  2. Cada tentativa tem dois resultados possíveis: certo ou errado.
  3. Probabilidade constante de sucesso § em cada tentativa: como há 4 alternativas e só uma está certa, a chance de acertar é 1/4.
  4. Tentativas independentes: o resultado de uma pergunta não afeta as outras.
Com esses pontos, podemos aplicar a fórmula binomial para encontrar o esperado e o desvio padrão.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número esperado de respostas corretas. A fórmula para o valor esperado $ E $ em uma distribuição binomial é:
E
Onde:
  • $ n = 10 $ (número de perguntas)
  • $ p = \frac{1}{4} $ (probabilidade de acertar cada pergunta)
Então:
E = n times p
Isso significa que, em média, o aluno espera acertar 2,5 perguntas.

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão. Primeiro, encontramos a variância $ V $ na distribuição binomial:
V
Substituindo os valores:
V = n times p times (1 - p)
O desvio padrão $ \sigma $ é a raiz quadrada da variância:
V = 10 times 14 times (1 - 14) = 10 times 14 times 34 = 3016 = 1.875

Resposta

O número esperado de questões corretas é 2,5 e o desvio padrão é aproximadamente 1,37.

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