O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0,5 dotA. Admitindo esse modelo, qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É conveniente usar a eletrostática nesse caso? É consistente usar a mecânica não relativística?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar o modelo de Bohr pro átomo de hidrogênio, que trata o elétron girando em volta do próton por uma força eletrostática (igualzinha à gravitacional, mas trocando massa por carga). O enunciado diz que a distância média é .
Conteúdo: mecânica clássica (força centrípeta) + lei de Coulomb.
Precisamos de:
  1. Lei de Coulomb: .
  2. Força centrípeta: .
  3. Dados: carga do elétron , massa , constante , e .

Passo 2

Igualamos força de Coulomb com a centrípeta pra achar a velocidade:
k,e^2r^2 ;=; me,v^2r
Reorganizando pra v = raizk,e^2me,r :
v = raiz(9times10^9),(1,602times10^-19)^2(9,11times10^-31),(0,5times10^-10)
Agora é só colocar os números:
Calculando passo a passo:
  1. Divisão interna:
  2. Raiz: .

Passo 3

“É conveniente usar a eletrostática nesse caso?”
Sim, porque a interação entre próton e elétron é de natureza elétrica, e a lei de Coulomb (força eletrostática) descreve direitinho como essas cargas se atraem. A gente não precisa de teoria mais complicada, essa já dá conta.

Passo 4

“É consistente usar a mecânica não relativística?”
Pra verificar se dá pra desprezar efeitos relativísticos, comparamos vc approx 2,25times10^63times10^8 approx 7,5times10^-3 ;=; 0,75%,c com :
Como isso é bem menor que (menos de 1%), as correções relativísticas são minúsculas. Então tudo certo usar mecânica clássica.

Resposta

Velocidade do elétron: .
É conveniente usar eletrostática? Sim.
É consistente a abordagem não relativística? Sim.

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