O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, a atração gravitacional sendo substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de
. Admitindo esse modelo, qual seria a velocidade do elétron na sua órbita? É conveniente usar a eletrostática nesse caso? É consistente usar a mecânica não relativística?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar o modelo de Bohr pro átomo de hidrogênio, que trata o elétron girando em volta do próton por uma força eletrostática (igualzinha à gravitacional, mas trocando massa por carga). O enunciado diz que a distância média é
.
Conteúdo: mecânica clássica (força centrípeta) + lei de Coulomb.
Precisamos de:
Conteúdo: mecânica clássica (força centrípeta) + lei de Coulomb.
Precisamos de:
- Lei de Coulomb:
. - Força centrípeta:
. - Dados: carga do elétron
, massa , constante , e .
Passo 2
Igualamos força de Coulomb com a centrípeta pra achar a velocidade:
Reorganizando pra
:
Agora é só colocar os números:
Calculando passo a passo:
-
-
-
- Divisão interna:
- Raiz:
.
Passo 3
“É conveniente usar a eletrostática nesse caso?”
Sim, porque a interação entre próton e elétron é de natureza elétrica, e a lei de Coulomb (força eletrostática) descreve direitinho como essas cargas se atraem. A gente não precisa de teoria mais complicada, essa já dá conta.
Sim, porque a interação entre próton e elétron é de natureza elétrica, e a lei de Coulomb (força eletrostática) descreve direitinho como essas cargas se atraem. A gente não precisa de teoria mais complicada, essa já dá conta.
Passo 4
“É consistente usar a mecânica não relativística?”
Pra verificar se dá pra desprezar efeitos relativísticos, comparamos com
:
Pra verificar se dá pra desprezar efeitos relativísticos, comparamos
Como isso é bem menor que
(menos de 1%), as correções relativísticas são minúsculas. Então tudo certo usar mecânica clássica.
Resposta
Velocidade do elétron:
.
É conveniente usar eletrostática? Sim.
É consistente a abordagem não relativística? Sim.
É conveniente usar eletrostática? Sim.
É consistente a abordagem não relativística? Sim.