Um cilindro circular reto, de raio Re altura L , está orientado ao longo do eixo z eo centro da sua base inferior coincide com a origem do sistema de coordenadas. Possu uma densidade volumétrica de carga uniforme rho. Calcule a força elétrica sobre uma carga q na posição z=3 L. (18 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro circular reto com raio $ R_e $ e altura $ L $, alinhado ao longo do eixo z. A densidade volumétrica de carga é uniforme, representada por $ \rho $. Queremos calcular a força elétrica sobre uma carga $ q $ que está posicionada no ponto $ z = 3L $ ao longo do eixo z.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Lei de Coulomb: que relaciona força elétrica com campo elétrico.
  • Campo elétrico de um cilindro carregado: especialmente ao longo do eixo do cilindro.
  • Integração: para somar as contribuições de todas as partes do cilindro ao campo no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica $ \vec{F} $ sobre uma carga $ q $ é dada pela fórmula:
F
Onde $ \vec{E} $ é o campo elétrico no ponto onde a carga $ q $ está localizada.

Passo 3

Então, nosso objetivo agora é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ na posição $ z = 3L $ devido ao cilindro carregado.

Passo 4

Para encontrar $ \vec{E} $, vamos considerar o cilindro como sendo composto por infinitos discos empilhados ao longo do eixo z. Cada disco tem um pequeno elemento de altura $ dz’ $ e está carregado com uma carga $ dq $.
A densidade volumétrica de carga $ \rho $ nos diz que:
E

Passo 5

O campo elétrico devido a um pequeno disco carregado em um ponto ao longo do eixo z pode ser calculado usando a fórmula:
dE = 14piepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + Re^2)^3/2
onde $ z $ é a distância entre o disco e o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 6

No nosso caso, a distância $ z $ entre cada disco no cilindro e o ponto $ z = 3L $ é:
z
assim, substituindo na expressão de $ dE $:
z = 3L

Passo 7

Para encontrar o campo total $ E $, vamos integrar $ dE $ ao longo de toda a altura do cilindro, ou seja, de $ z’ = 0 $ até $ z’ = L $:
E

Passo 8

Simplificando a integral:
E = rho Re^24epsilon0 integral0^L 3L - z'((3L - z')^2 + Re^2)^3/2 dz'
Fazendo uma substituição $ u = 3L - z’ $, $ du = -dz’ $, os limites se tornam de $ u = 3L $ para $ u = 3L - L = 2L $:
u = 3L - z'

Passo 9

Integrando:
integral u(u^2 + Re^2)^3/2 du = -1raizu^2 + Re^2
Então:
E = rho Re^24epsilon0 [ -1raiz(3L)^2 + Re^2 + 1raiz(2L)^2 + Re^2 ]

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão da força elétrica:
F = qE = q cdot rho Re^24epsilon0 ( 1raiz4L^2 + Re^2 - 1raiz9L^2 + Re^2 )

Resposta

A força elétrica sobre a carga $ q $ na posição $ z = 3L $ é dada por:
q

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