Um cilindro circular reto, de raio Re altura L , está orientado ao longo do eixo z eo centro da sua base inferior coincide com a origem do sistema de coordenadas. Possu uma densidade volumétrica de carga uniforme
. Calcule a força elétrica sobre uma carga q na posição
L. (18 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro circular reto com raio $ R_e $ e altura $ L $, alinhado ao longo do eixo z. A densidade volumétrica de carga é uniforme, representada por $ \rho $. Queremos calcular a força elétrica sobre uma carga $ q $ que está posicionada no ponto $ z = 3L $ ao longo do eixo z.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Lei de Coulomb: que relaciona força elétrica com campo elétrico.
- Campo elétrico de um cilindro carregado: especialmente ao longo do eixo do cilindro.
- Integração: para somar as contribuições de todas as partes do cilindro ao campo no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica $ \vec{F} $ sobre uma carga $ q $ é dada pela fórmula:
Onde $ \vec{E} $ é o campo elétrico no ponto onde a carga $ q $ está localizada.
Passo 3
Então, nosso objetivo agora é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ na posição $ z = 3L $ devido ao cilindro carregado.
Passo 4
Para encontrar $ \vec{E} $, vamos considerar o cilindro como sendo composto por infinitos discos empilhados ao longo do eixo z. Cada disco tem um pequeno elemento de altura $ dz’ $ e está carregado com uma carga $ dq $.
A densidade volumétrica de carga $ \rho $ nos diz que:
Passo 5
O campo elétrico devido a um pequeno disco carregado em um ponto ao longo do eixo z pode ser calculado usando a fórmula:
onde $ z $ é a distância entre o disco e o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 6
No nosso caso, a distância $ z $ entre cada disco no cilindro e o ponto $ z = 3L $ é:
assim, substituindo na expressão de $ dE $:
Passo 7
Para encontrar o campo total $ E $, vamos integrar $ dE $ ao longo de toda a altura do cilindro, ou seja, de $ z’ = 0 $ até $ z’ = L $:
Passo 8
Simplificando a integral:
Fazendo uma substituição $ u = 3L - z’ $, $ du = -dz’ $, os limites se tornam de $ u = 3L $ para $ u = 3L - L = 2L $:
Passo 9
Integrando:
Então:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão da força elétrica:
Resposta
A força elétrica sobre a carga $ q $ na posição $ z = 3L $ é dada por: