O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio pode ser comparado ao sistema Terra-Lua, em que o papel da Terra é desempenhado pelo próton e o da Lua pelo elétron, e a atração gravitacional é substituída pela eletrostática. A distância média entre o elétron e o próton no átomo é da ordem de 0.5 Å. Admitindo esse modelo,
(a) qual seria a frequência de revolução do elétron em torno de próton? Compare com a frequência da luz visível.
(b) Qual seria a velocidade do elétron em sua órbita nesse caso? Compare essa velocidade com a velocidade da luz no vácuo
(c) Baseado nos itens anteriores, esse modelo parece razoável? Explique seu raciocínio.
Dados:
(a) qual seria a frequência de revolução do elétron em torno de próton? Compare com a frequência da luz visível.
(b) Qual seria a velocidade do elétron em sua órbita nesse caso? Compare essa velocidade com a velocidade da luz no vácuo
(c) Baseado nos itens anteriores, esse modelo parece razoável? Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) calcular a frequência de revolução do elétron em torno do próton, assumindo órbita circular com raio aproximado de
, e comparar esse valor com a faixa da luz visível. - (b) calcular a velocidade do elétron nessa órbita e comparar com a velocidade da luz no vácuo.
- (c) a partir (a) e (b), dizer se o modelo “Terra-Lua” (elétron orbitando classicamente o próton) parece razoável, e justificar.
Informações fornecidas (peguei todos estes valores do enunciado):
Também uso a distância média dada:
Passo 2
Vamos montar a equação física que determina a velocidade do elétron na órbita circular clássica. A força elétrica de atração entre próton e elétron (lei de Coulomb) fornece a força centrípeta que mantém o elétron em órbita.
Lei de Coulomb (módulo da força elétrica):
Aqui:
-
é a constante eletrostática (dada), -
é a carga elementar (dada), -
é o raio da órbita (dado).
Força centrípeta para movimento circular de velocidade
:
onde
é a massa do elétron e
sua velocidade orbital.
Igualando as forças (
) obtemos:
Simplificando para
:
Expliquei cada símbolo e a origem desta equação: equilíbrio entre atração elétrica e necessidade de força centrípeta para órbita circular.
Passo 3
Agora calculo numericamente
. Primeiro computo o numerador e o denominador separadamente para ficar claro e poder fazer sem calculadora científica “mágica”.
Calculo de
:
Produto
:
Produto
:
Quociente dentro da raiz:
Portanto
Para ficar com notação do enunciado:
Passo 4
Agora calculo a frequência de revolução orbital
(número de voltas por segundo). Para movimento circular:
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando:
Passo 5
Comparação da frequência calculada com a faixa da luz visível.
Faixa visível dada:
a
, ou seja em Hz:
Razões:
Conclusão: a frequência orbital clássica calculada é cerca de
a
vezes maior que a frequência da luz visível; está na ordem de
(região do ultravioleta/extremo ultravioleta), não exatamente na faixa visível.
Passo 6
Comparação da velocidade com a velocidade da luz.
Calculamos
. Tomando
,
Em porcentagem:
Isso mostra que
é muito menor que
, ou seja, o movimento é não-relativístico (efeitos relativísticos pequenos).
Passo 7
Interpretação final (o raciocínio sobre se o modelo clássico é razoável).
-
Ponto positivo: a velocidade obtida é bem menor que
( de ), então tratar o elétron com mecânica não-relativística é aceitável do ponto de vista relativístico. Além disso, as ordens de grandeza obtidas (raio ~0{,}5 Å, ) estão próximas dos resultados do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr — portanto o número não é absurdo. -
Ponto negativo e decisivo: um elétron carregado em aceleração circular, segundo o eletromagnetismo clássico, deve irradiar energia continuamente (radiação de um dipolo acelerado). Se isso acontecesse, o elétron perderia energia, espiralaria e colidiria com o próton rapidamente — coisa que não acontece nos átomos estáveis. Além disso, átomos reais emitem e absorvem luz em linhas discretas (fótons com frequências bem definidas), enquanto um elétron clássico em órbita acelerada geraria um espectro contínuo. Por isso o modelo puramente clássico “Terra-Lua” falha ao explicar estabilidade e espectros discretos.
-
Histórico curto: o modelo de Bohr (com quantização semi-clássica) resolve parte do problema (prediz níveis de energia discretos do hidrogênio), mas a explicação completa e correta exige a mecânica quântica (onde o elétron não é uma partícula orbitando clássicamente, e não sofre a emissão contínua prevista pelo eletromagnetismo clássico).
Conclusão: apesar de as contas clássicas darem números razoáveis em ordem de grandeza e velocidades não-relativísticas, o modelo puramente clássico não é fisicamente aceitável porque contradiz a estabilidade atômica e o fato de espectros discretos — é necessário o tratamento quântico.
Resposta
(a)
. Isso é cerca de
a
vezes maior que a faixa da luz visível (
a
).
(b) , isto é
(aprox.
da velocidade da luz).
(c) Não: embora as ordens de grandeza (velocidade não-relativística) sejam razoáveis, o modelo clássico falha porque um elétron acelerado deveria irradiar energia continuamente e colapsar, além de não explicar os espectros discretos; é preciso mecânica quântica para descrever o átomo corretamente.
(b)
(c) Não: embora as ordens de grandeza (velocidade não-relativística) sejam razoáveis, o modelo clássico falha porque um elétron acelerado deveria irradiar energia continuamente e colapsar, além de não explicar os espectros discretos; é preciso mecânica quântica para descrever o átomo corretamente.