Q 5(2,0 ptos ) A matriz de mudança da base E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) para a base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right)
As perguntas são:
(a) Expressar cada \vec{f}_j em termos da base E.
(b) Expressar cada \vec{e}_i em termos da base F.
Informações relevantes dadas: a própria matriz M (mostrada acima). A resolução começa no passo seguinte.]
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que as colunas de M representam. Quando uma matriz M é apresentada como matriz de mudança entre duas bases (aqui “de E para F”), as colunas de M contêm as coordenadas dos vetores da base F expresso na base E. Ou seja, para cada j vale a relação
\vec{f}_j = \sum_{i=1}^{3} M_{i j}\,\vec{e}_i,
onde M_{ij} é o elemento da linha i, coluna j de M. Vou usar exatamente essa interpretação para resolver a parte (a).
Passo 3
Ler as colunas de M e escrever cada \vec{f}_j em função de \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.
Coluna 1 de M é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, logo
Agora a parte (b): queremos escrever os \vec{e}_i em termos de \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3. Como as colunas de M dão as coordenadas dos \vec{f}_j na base E, a relação matricial entre coordenadas é
[\vec{v}]_E = M\,[\vec{v}]_F
para qualquer vetor \vec{v}. Assim, para obter os \vec{e}_i em função dos \vec{f}_j precisamos inverter essa relação: expressar [\vec{v}]_F em termos de [\vec{v}]_E usando M^{-1}. Em particular, as colunas de M^{-1} serão as coordenadas dos \vec{e}_i na base F: