Q 5(2,0 ptos ) A matriz de mudança da base E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) para a base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right)
M=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Exprima os elementos de F em termos da base E.
(b) Exprima os elementos de E em termos da base F.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de base de E=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) para F=(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3):
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Expressar cada \vec{f}_j em termos da base E.
(b) Expressar cada \vec{e}_i em termos da base F.
Informações relevantes dadas: a própria matriz M (mostrada acima). A resolução começa no passo seguinte.]

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que as colunas de M representam. Quando uma matriz M é apresentada como matriz de mudança entre duas bases (aqui “de E para F”), as colunas de M contêm as coordenadas dos vetores da base F expresso na base E. Ou seja, para cada j vale a relação
\vec{f}_j = \sum_{i=1}^{3} M_{i j}\,\vec{e}_i,
onde M_{ij} é o elemento da linha i, coluna j de M. Vou usar exatamente essa interpretação para resolver a parte (a).

Passo 3

Ler as colunas de M e escrever cada \vec{f}_j em função de \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.
Coluna 1 de M é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, logo
\vec{f}_1 = 1\cdot\vec{e}_1 + 0\cdot\vec{e}_2 + 1\cdot\vec{e}_3 = \vec{e}_1 + \vec{e}_3.
Coluna 2 de M é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}, logo
\vec{f}_2 = 0\cdot\vec{e}_1 + 1\cdot\vec{e}_2 + 0\cdot\vec{e}_3 = \vec{e}_2.
Coluna 3 de M é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, logo
\vec{f}_3 = 1\cdot\vec{e}_1 + 0\cdot\vec{e}_2 + (-1)\cdot\vec{e}_3 = \vec{e}_1 - \vec{e}_3.
Essas são as expressões pedidas em (a).]

Passo 4

Agora a parte (b): queremos escrever os \vec{e}_i em termos de \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3. Como as colunas de M dão as coordenadas dos \vec{f}_j na base E, a relação matricial entre coordenadas é
[\vec{v}]_E = M\,[\vec{v}]_F
para qualquer vetor \vec{v}. Assim, para obter os \vec{e}_i em função dos \vec{f}_j precisamos inverter essa relação: expressar [\vec{v}]_F em termos de [\vec{v}]_E usando M^{-1}. Em particular, as colunas de M^{-1} serão as coordenadas dos \vec{e}_i na base F:
\vec{e}_i = \sum_{j=1}^{3} (M^{-1})_{j i}\,\vec{f}_j.
Portanto vamos calcular M^{-1}.

Passo 5

Calcular o determinante de M. Usando expansão pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando os 2×2:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-0\cdot0=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
Logo
\det(M)=1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=-2.
Como \det(M)=-2\neq 0, M é invertível e podemos calcular M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M).]

Passo 6

Calcular a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou listar os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}):
  • C_{11}=\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-1\end{pmatrix}=-1. Como (-1)^{1+1}=+1, temos C_{11}=-1.
  • C_{12}=-\det\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}=0.
  • C_{13}=+\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=-1.
  • C_{21}=-\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&-1\end{pmatrix}=0.
  • C_{22}=+\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2.
  • C_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=0.
  • C_{31}=+\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=-1.
  • C_{32}=-\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix}=0.
  • C_{33}=+\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}=1.
A matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1\\[2pt] 0 & -2 & 0\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa matriz; como ela é simétrica neste caso, a adjunta é
\operatorname{adj}(M)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1\\[2pt] 0 & -2 & 0\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M)=\frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1\\[2pt] 0 & -2 & 0\\[2pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplicando por \dfrac{1}{-2} obtemos
M^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

As colunas de M^{-1} dão as coordenadas dos \vec{e}_i na base F. Portanto:
Coluna 1 de M^{-1} é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, logo
\vec{e}_1 = \tfrac{1}{2}\,\vec{f}_1 + 0\cdot\vec{f}_2 + \tfrac{1}{2}\,\vec{f}_3 = \tfrac{1}{2}\vec{f}_1 + \tfrac{1}{2}\vec{f}_3.
Coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}, logo
\vec{e}_2 = \vec{f}_2.
Coluna 3 é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, logo
\vec{e}_3 = \tfrac{1}{2}\,\vec{f}_1 - \tfrac{1}{2}\,\vec{f}_3.
Com isso respondemos a parte (b).]

Resposta

(a) \vec{f}_1=\vec{e}_1+\vec{e}_3, \vec{f}_2=\vec{e}_2, \vec{f}_3=\vec{e}_1-\vec{e}_3
(b) \vec{e}_1=\tfrac{1}{2}\vec{f}_1+\tfrac{1}{2}\vec{f}_3, \vec{e}_2=\vec{f}_2, \vec{e}_3=\tfrac{1}{2}\vec{f}_1-\tfrac{1}{2}\vec{f}_3

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