Q 4 (2,0 ptos) Fixada uma base, sejam A=(1,2,4), B=(2,3,2) e C=(2,1,1).
(a) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo?
(b) Determine D de modo que A B C D seja um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos fixos numa base (coordenadas em \mathbb{R}^3):
A=(1,2,4), B=(2,3,2) e C=(2,1,1).
As perguntas são:
(a) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo? (ou seja, são três pontos distintos e não colineares.)
(b) Determine D de modo que A B C D seja um paralelogramo (orde-mados na sequência A\to B\to C\to D).

Passo 2

Primeiro vou transformar os pontos em vetores posição e construir vetores entre os pontos, porque isso facilita testar colinearidade e construir paralelogramos. Definições básicas (rápida revisão):
  • O vetor \vec{AB} é obtido por subtração das coordenadas: \vec{AB}=B-A. Cada componente é a diferença correspondente.
  • Três pontos são colineares se os vetores \vec{AB} e \vec{AC} forem linearmente dependentes, ou seja, se existir um escalar t tal que \vec{AB}=t\,\vec{AC}. Se não existir tal t, os vetores não são múltiplos e os pontos não são colineares.

Passo 3

Calculo \vec{AB} e \vec{AC} passo a passo:
\vec{AB}=B-A=(2-1,\;3-2,\;2-4)=(1,\;1,\;-2).
\vec{AC}=C-A=(2-1,\;1-2,\;1-4)=(1,\;-1,\;-3).
Mostrei explicitamente cada diferença para você poder reproduzir na prova sem erro.

Passo 4

Testo se existe t com \vec{AB}=t\,\vec{AC}. Compare componentes:
  • Da primeira componente: 1=t\cdot 1 t=1.
  • Da segunda componente: 1=t\cdot(-1) daria 1=-1, o que é falso para t=1.
Como não existe um único t que satisfaça todas as componentes simultaneamente, \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos um do outro. Logo os pontos não são colineares.

Passo 5

Conclusão para (a): Sendo os pontos distintos (observa-se que A\neq B\neq C) e não colineares, eles formam os vértices de um triângulo. Parabéns — parte (a) está resolvida.

Passo 6

Agora (b): quero encontrar D tal que A B C D seja um paralelogramo com vértices na ordem A\to B\to C\to D. Conceito útil e prático:
  • Num paralelogramo, os vetores \vec{AB} e \vec{DC} são iguais (mesma direção e módulo), e \vec{BC} e \vec{AD} são iguais.
  • Em termos de posições (vetores posição) existe a relação clássica dos pontos: \vec{A}+\vec{C}=\vec{B}+\vec{D}. Isso decorre do fato de que as diagonais se cortam no mesmo ponto médio. Desse modo isolamos \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B}.

Passo 7

Aplicando a fórmula \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}-\vec{B} nas coordenadas:
D=(1,2,4)+(2,1,1)-(2,3,2).
Faço componente a componente para não errar:
  • Primeira componente: 1+2-2=1.
  • Segunda componente: 2+1-3=0.
  • Terceira componente: 4+1-2=3.
    Portanto
D=(1,0,3).

Passo 8

Verificação (sempre boa prática na prova): confirmo que \vec{DC}=\vec{AB} e \vec{AD}=\vec{BC}.
Calculo \vec{DC}=C-D=(2-1,\;1-0,\;1-3)=(1,\;1,\;-2), que coincide com \vec{AB}=(1,1,-2).
Calculo \vec{AD}=D-A=(1-1,\;0-2,\;3-4)=(0,\;-2,\;-1), que coincide com \vec{BC}=C-B=(2-2,\;1-3,\;1-2)=(0,\;-2,\;-1).
As igualdades confirmam que os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, então A B C D é mesmo um paralelogramo.

Resposta

(a) Sim, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo.
(b) D=(1,0,3)

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