Q 4 (2,0 ptos) Fixada uma base, sejam
e
.
(a) Os pontos
e
são vértices de um triângulo?
(b) Determine
de modo que
seja um paralelogramo.
(a) Os pontos
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá três pontos fixos numa base (coordenadas em
):
,
e
.
As perguntas são:
(a) Os pontos ,
e
são vértices de um triângulo? (ou seja, são três pontos distintos e não colineares.)
(b) Determine de modo que
seja um paralelogramo (orde-mados na sequência
).
As perguntas são:
(a) Os pontos
(b) Determine
Passo 2
Primeiro vou transformar os pontos em vetores posição e construir vetores entre os pontos, porque isso facilita testar colinearidade e construir paralelogramos. Definições básicas (rápida revisão):
- O vetor
é obtido por subtração das coordenadas: . Cada componente é a diferença correspondente. - Três pontos são colineares se os vetores
e forem linearmente dependentes, ou seja, se existir um escalar tal que . Se não existir tal , os vetores não são múltiplos e os pontos não são colineares.
Passo 3
Calculo
e
passo a passo:
Mostrei explicitamente cada diferença para você poder reproduzir na prova sem erro.
Passo 4
Testo se existe
com
. Compare componentes:
- Da primeira componente:
dá . - Da segunda componente:
daria , o que é falso para .
Como não existe um único
que satisfaça todas as componentes simultaneamente,
e
não são múltiplos um do outro. Logo os pontos não são colineares.
Passo 5
Conclusão para (a): Sendo os pontos distintos (observa-se que
) e não colineares, eles formam os vértices de um triângulo. Parabéns — parte (a) está resolvida.
Passo 6
Agora (b): quero encontrar
tal que
seja um paralelogramo com vértices na ordem
. Conceito útil e prático:
- Num paralelogramo, os vetores
e são iguais (mesma direção e módulo), e e são iguais. - Em termos de posições (vetores posição) existe a relação clássica dos pontos:
. Isso decorre do fato de que as diagonais se cortam no mesmo ponto médio. Desse modo isolamos .
Passo 7
Aplicando a fórmula
nas coordenadas:
Faço componente a componente para não errar:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto
Passo 8
Verificação (sempre boa prática na prova): confirmo que
e
.
Calculo , que coincide com
.
Calculo , que coincide com
.
As igualdades confirmam que os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, então é mesmo um paralelogramo.
Calculo
Calculo
As igualdades confirmam que os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento, então
Resposta
(a) Sim, os pontos
,
e
são vértices de um triângulo.
(b)
(b)