Ao substituir as soluções propostas nas equações diferenciais, mostre que a solução do modelo de Richardson específico para armas
& d xd t=y-3 x+3 & d yd t=2 x-4 y+8
com condições iniciais x(0)=12, y(0)=15 é
& x(t)=323 e^-2 t-23 e^-5 t+2 & y(t)=323 e^-2 t+43 e^-5 t+3
Qual é o comportamento a longo prazo desta corrida armamentista?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você mandou trata de um modelo de Richardson específico para armas, que usa equações diferenciais para descrever uma corrida armamentista. A gente precisa substituir as soluções propostas nessas equações para verificar se elas resolvem o sistema dado as condições iniciais $ x(0) = 12 $ e $ y(0) = 15 $. Além disso, vamos analisar o comportamento a longo prazo dessa corrida armamentista.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que as equações diferenciais estão dizendo. Temos o seguinte sistema:
& dxdt = y - 3x + 3 & dydt = 2x - 4y + 8
Aqui, $ x(t) $ e $ y(t) $ representam quantidades relacionadas às armas em dois países diferentes ao longo do tempo $ t $. Nosso objetivo é verificar se as soluções propostas:
x(t)
respeitam as equações diferenciais e as condições iniciais.

Passo 3

Vamos começar verificando as condições iniciais. Para isso, substituímos $ t = 0 $ nas soluções propostas:
Para $ x(0) $:
t = 0
Para $ y(0) $:
x(0)
Então, as soluções respeitam as condições iniciais $ x(0) = 12 $ e $ y(0) = 15 $.

Passo 4

Agora, vamos substituir as soluções propostas nas equações diferenciais para verificar se elas são realmente soluções do sistema.
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $.
Derivada de $ x(t) $:
x(t)
Derivada de $ y(t) $:
y(t)

Passo 5

Vamos verificar a primeira equação diferencial:
dxdt = y - 3x + 3
Substituindo $ y(t) $ e $ x(t) $:
y(t)
Vamos simplificar o lado direito:
x(t)
-643 e^-2t + 103 e^-5t = ( 323 e^-2t + 43 e^-5t + 3 ) - 3 ( 323 e^-2t - 23 e^-5t + 2 ) + 3
= 323 e^-2t + 43 e^-5t + 3 - 963 e^-2t + 63 e^-5t - 6 + 3
= ( 323 - 963 ) e^-2t + ( 43 + 63 ) e^-5t + (3 - 6 + 3)
Que é igual ao lado esquerdo. Então, a primeira equação é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda equação diferencial:
dydt = 2x - 4y + 8
Substituindo $ x(t) $ e $ y(t) $:
x(t)
Simplificando o lado direito:
y(t)
-643 e^-2t - 203 e^-5t = 2 ( 323 e^-2t - 23 e^-5t + 2 ) - 4 ( 323 e^-2t + 43 e^-5t + 3 ) + 8
= 643 e^-2t - 43 e^-5t + 4 - 1283 e^-2t - 163 e^-5t - 12 + 8
= ( 643 - 1283 ) e^-2t + ( -43 - 163 ) e^-5t + (4 - 12 + 8)
Que novamente é igual ao lado esquerdo. Então, a segunda equação também é satisfeita.

Passo 7

Agora que confirmamos que as soluções propostas satisfazem ambas as equações diferenciais e as condições iniciais, vamos analisar o comportamento a longo prazo dessa corrida armamentista.
Observando as soluções:
& x(t) = 323 e^-2t - 23 e^-5t + 2 & y(t) = 323 e^-2t + 43 e^-5t + 3
Conforme $ t $ tende para o infinito ($ t \to \infty $), os termos exponenciais $ e^{-2t} $ e $ e^{-5t} $ tendem a zero, já que a exponencial negativa faz esses termos desaparecerem com o tempo.
Portanto:
t
Isso significa que, a longo prazo, a quantidade de armas estabiliza em 2 para $ x(t) $ e 3 para $ y(t) $. Em outras palavras, a corrida armamentista não continua indefinidamente, mas sim se estabiliza em valores constantes.

Resposta

A longo prazo, a corrida armamentista se estabiliza com $ x(t) $ tendendo a 2 e $ y(t) $ tendendo a 3, indicando que a quantidade de armas para cada país não cresce mais e permanece constante.

Exercícios relacionados