Ao substituir as soluções propostas nas equações diferenciais, mostre que a solução do modelo de Richardson específico para armas
com condições iniciais
é
Qual é o comportamento a longo prazo desta corrida armamentista?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você mandou trata de um modelo de Richardson específico para armas, que usa equações diferenciais para descrever uma corrida armamentista. A gente precisa substituir as soluções propostas nessas equações para verificar se elas resolvem o sistema dado as condições iniciais $ x(0) = 12 $ e $ y(0) = 15 $. Além disso, vamos analisar o comportamento a longo prazo dessa corrida armamentista.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que as equações diferenciais estão dizendo. Temos o seguinte sistema:
Aqui, $ x(t) $ e $ y(t) $ representam quantidades relacionadas às armas em dois países diferentes ao longo do tempo $ t $. Nosso objetivo é verificar se as soluções propostas:
respeitam as equações diferenciais e as condições iniciais.
Passo 3
Vamos começar verificando as condições iniciais. Para isso, substituímos $ t = 0 $ nas soluções propostas:
Para $ x(0) $:
Para $ y(0) $:
Então, as soluções respeitam as condições iniciais $ x(0) = 12 $ e $ y(0) = 15 $.
Passo 4
Agora, vamos substituir as soluções propostas nas equações diferenciais para verificar se elas são realmente soluções do sistema.
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $.
Derivada de $ x(t) $:
Derivada de $ y(t) $:
Passo 5
Vamos verificar a primeira equação diferencial:
Substituindo $ y(t) $ e $ x(t) $:
Vamos simplificar o lado direito:
Que é igual ao lado esquerdo. Então, a primeira equação é satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda equação diferencial:
Substituindo $ x(t) $ e $ y(t) $:
Simplificando o lado direito:
Que novamente é igual ao lado esquerdo. Então, a segunda equação também é satisfeita.
Passo 7
Agora que confirmamos que as soluções propostas satisfazem ambas as equações diferenciais e as condições iniciais, vamos analisar o comportamento a longo prazo dessa corrida armamentista.
Observando as soluções:
Conforme $ t $ tende para o infinito ($ t \to \infty $), os termos exponenciais $ e^{-2t} $ e $ e^{-5t} $ tendem a zero, já que a exponencial negativa faz esses termos desaparecerem com o tempo.
Portanto:
Isso significa que, a longo prazo, a quantidade de armas estabiliza em 2 para $ x(t) $ e 3 para $ y(t) $. Em outras palavras, a corrida armamentista não continua indefinidamente, mas sim se estabiliza em valores constantes.
Resposta
A longo prazo, a corrida armamentista se estabiliza com $ x(t) $ tendendo a 2 e $ y(t) $ tendendo a 3, indicando que a quantidade de armas para cada país não cresce mais e permanece constante.