Em um modelo de crescimento sazonal, uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento. Essas variações podem, por exemplo, ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos. Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal
em que
são constantes positivas. Dica:
.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial que modela o crescimento sazonal de uma população ou quantidade
. A equação é:
Aqui,
e
são constantes positivas. O conteúdo principal envolve resolver uma equação diferencial usando técnicas de integração, e vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando a identidade trigonométrica fornecida na dica:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de forma a separarmos as variáveis
e
:
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Integrando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos simplificar a constante
como
(a condição inicial):
Resposta
A solução do modelo de crescimento sazonal é: