(5,0) Em um modelo de crescimento sazonal, uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento. Essas variações podem, por exemplo, ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos. Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal
d Pd t=k P cos ^2(r t), P(0)=P0
em que k, r são constantes positivas. Dica: cos ^2(r t)=12+12 cos (2 r t).

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial que modela o crescimento sazonal de uma população ou quantidade d Pd t = k P cos^2(r t), P(0) = P0 . A equação é:
Aqui, e são constantes positivas. O conteúdo principal envolve resolver uma equação diferencial usando técnicas de integração, e vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando a identidade trigonométrica fornecida na dica:
cos^2(r t) = 12 + 12 cos(2 r t)
Substituindo na equação diferencial:
d Pd t = k P ( 12 + 12 cos(2 r t) )
Simplificando:
d Pd t = k2 P + k2 P cos(2 r t)

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de forma a separarmos as variáveis d PP = k2 (1 + cos(2 r t)) dt e :
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1P d P = integral k2 (1 + cos(2 r t)) dt
A integral do lado esquerdo é:
ln |P| = k2 integral (1 + cos(2 r t)) dt + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando o lado direito:
k2 integral 1 , dt + k2 integral cos(2 r t) , dt = k2 t + k4 r sin(2 r t) + C
Então, temos:
ln P = k2 t + k4 r sin(2 r t) + C

Passo 6

Para resolver para P = e^k2 t + k4 r sin(2 r t) + C , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
P = P0 e^k2 t + k4 r sin(2 r t)
Podemos simplificar a constante como (a condição inicial):

Resposta

A solução do modelo de crescimento sazonal é:
P(t) = P0 cdot e^, k2 t + k4 r sin(2 r t)

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