Considere
.
Qual a taxa de variação máxima de
no ponto
e em qual direção e sentido isso ocorre?
Qual a taxa de variação máxima de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = 1 - xy \cos(\pi x) $ no ponto
, e também descobrir em qual direção e sentido isso acontece. Isso tudo está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao gradiente, que são ferramentas que nos ajudam a entender como uma função muda quando mudamos as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Diferenciando
em relação a
dá
. Para a segunda parte, usamos a regra do produto:
Então:
Agora, calculamos
. Como
é a única variável, a derivada é mais simples:
Passo 4
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
E para
:
Passo 5
O gradiente de
no ponto
é o vetor formado pelas derivadas parciais naquele ponto:
A taxa de variação máxima de
é o módulo desse vetor gradiente. Para calcular o módulo, usamos:
Passo 6
A direção em que a taxa de variação é máxima é a direção do gradiente. Para achar a direção unitária, normalizamos o vetor gradiente:
Isso significa que a máxima variação ocorre na direção de
em relação aos eixos
e
.
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto
é
, e ela ocorre na direção de
.