Considere f(x, y)=1-x y cos (pi x).
Qual a taxa de variação máxima de f no ponto (1,1) e em qual direção e sentido isso ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar qual é a taxa de variação máxima da função $ f(x, y) = 1 - xy \cos(\pi x) $ no ponto f(x, y) = 1 - xy cos(pi x) , e também descobrir em qual direção e sentido isso acontece. Isso tudo está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao gradiente, que são ferramentas que nos ajudam a entender como uma função muda quando mudamos as variáveis (1, 1) e x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função f em relação a x e y. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = partial fpartial x = partialpartial x (1 - xy cos(pi x))
E a derivada parcial de f em relação a y é:
fy = partial fpartial y = partialpartial y (1 - xy cos(pi x))

Passo 3

Vamos calcular fx primeiro. Diferenciando 1 em relação a x 0. Para a segunda parte, usamos a regra do produto:
partialpartial x (-xy cos(pi x)) = -y cos(pi x) - xy cdot (-pi sin(pi x)) = -y cos(pi x) + pi xy sin(pi x)
Então:
fx = -y cos(pi x) + pi xy sin(pi x)
Agora, calculamos fy. Como y é a única variável, a derivada é mais simples:
fy = -x cos(pi x)

Passo 4

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto (1, 1):
fx(1, 1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) + pi cdot 1 cdot 1 cdot sin(pi cdot 1)
Sabemos que cos(pi) = -1 e sin(pi) = 0, então:
fx(1, 1) = -1 cdot (-1) + pi cdot 1 cdot 0 = 1 + 0 = 1
E para fy:
fy(1, 1) = -1 cdot cos(pi cdot 1) = -1 cdot (-1) = 1

Passo 5

O gradiente de f no ponto (1, 1) é o vetor formado pelas derivadas parciais naquele ponto:
nabla f(1, 1) = ( fx(1, 1), fy(1, 1) ) = (1, 1)
A taxa de variação máxima de f é o módulo desse vetor gradiente. Para calcular o módulo, usamos:
|nabla f(1, 1)| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2

Passo 6

A direção em que a taxa de variação é máxima é a direção do gradiente. Para achar a direção unitária, normalizamos o vetor gradiente:
Direção = nabla f(1, 1)|nabla f(1, 1)| = ( 1raiz2, 1raiz2 ) çã
Isso significa que a máxima variação ocorre na direção de 45^circ em relação aos eixos x e y.

Resposta

A taxa de variação máxima de f no ponto (1, 1) é raiz2, e ela ocorre na direção de ( 1raiz2, 1raiz2 ).

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