Resolva a equação diferencial (use o método de equações exatas)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, a gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça as condições dessa exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. É uma equação que pode ser escrita na forma:
E que satisfaz a condição:
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a condição de exatidão é satisfeita.
Calculando
:
Calculando
:
Como as duas derivadas são iguais:
Isso confirma que a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Para resolver
, usamos integração por partes:
Então,
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: