(5,0) Resolva a equação diferencial (use o método de equações exatas) (1+e^x y+x e^x y) d x+(x e^x+2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
(1 + e^x y + x e^x y) dx + (x e^x + 2) dy = 0
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, a gente vai precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça as condições dessa exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. É uma equação que pode ser escrita na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
E que satisfaz a condição:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos identificar M(x, y) = 1 + e^x y + x e^x y e N(x, y) = x e^x + 2 na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a condição de exatidão é satisfeita.
Calculando partial Mpartial y = e^x + x e^x :
partial Npartial x = e^x + x e^x
Calculando partial Mpartial y = partial Npartial x :
Como as duas derivadas são iguais:
Isso confirma que a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função partial Fpartial x = M(x, y) tal que:
partial Fpartial y = N(x, y)
F(x, y) = integral (1 + e^x y + x e^x y) dx
Vamos encontrar F(x, y) = x + y e^x + y integral x e^x dx + C(y) integrando integral x e^x dx = x e^x - e^x em relação a F(x, y) = x + y e^x + y (x e^x - e^x) + C(y) :
F(x, y) = x + x y e^x + C(y)
partial Fpartial y = x e^x + C'(y) = x e^x + 2
Para resolver C'(y) = 2 Rightarrow C(y) = 2y + constante , usamos integração por partes:
Então,
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x + x y e^x + 2 y = C

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