(M) Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio
, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por
, onde
é uma constante positiva e
é a distância ao eixo do cilindro.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
. Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino e infinito com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
.
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de
, destacando os pontos relevantes.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de
Passo 1
Beleza, o exercício tá falando de um cilindro infinito de raio
com densidade de carga que varia conforme a distância ao eixo:
onde
é uma constante. O conteúdo aqui é eletrostática básica usando a Lei de Gauss em simetria cilíndrica. Vamos precisar:
- Calcular a carga por comprimento (densidade linear
) integrando na seção. - Aplicar a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico fora (
) e dentro ( ). - Por fim, desenhar o gráfico de
versus .
Passo 2
Queremos primeiro a densidade linear
, ou seja, a carga total por comprimento
. Em coordenadas cilíndricas, um anel de raio
e espessura
tem área
. Então
Calculando a integral:
. Logo
Passo 3
Agora o campo no exterior (
). Pela Lei de Gauss:
Escolho superfície cilíndrica de raio
e comprimento
. O campo é radial e constante em módulo, então
Substituindo
:
na direção
. Isso coincide com o campo de um fio fino com densidade
.
Passo 4
No interior (
), só muda o
. Agora integramos até
:
Aplicando Gauss (
) dá
também radial.
Passo 5
Gráfico de
vs.\
:
- Para
, (curva subindo como parabólica). - No ponto
, . - Para
, (decai como hipérbole).
Desenha uma curva que aumenta rápido atée depois decai suavemente.
Resposta
(a)
(b) Para :
que bate com o fio infinito de densidade
.
© Para :
(d) cresce como
até
chegando a
e depois decai como
.
(b) Para
© Para
(d)