(M) Um cilindro isolante, infinito, de seção transversal circular de raio R, encontra-se carregado com uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho=rho0(s / R), onde rho0 é uma constante positiva e s é a distância ao eixo do cilindro.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro (s >= R). Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino e infinito com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro (s.
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo elétrico como função de s, destacando os pontos relevantes.

Passo 1

Beleza, o exercício tá falando de um cilindro infinito de raio rho(s) = rho0,sR, com densidade de carga que varia conforme a distância ao eixo:
onde é uma constante. O conteúdo aqui é eletrostática básica usando a Lei de Gauss em simetria cilíndrica. Vamos precisar:
  • Calcular a carga por comprimento (densidade linear ) integrando na seção.
  • Aplicar a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico fora ( ) e dentro ( ).
  • Por fim, desenhar o gráfico de versus .

Passo 2

Queremos primeiro a densidade linear lambda = integral0^Rrho(s),dA = integral0^Rrho0sR;2pi s,ds = 2pirho0Rintegral0^Rs^2,ds , ou seja, a carga total por comprimento lambda = 2pirho0R,R^33 = 2pirho0 R^23 . Em coordenadas cilíndricas, um anel de raio e espessura tem área . Então
Calculando a integral: . Logo

Passo 3

Agora o campo no exterior ( Phi = oint Ecdot d A = Qrm encvarepsilon0 ). Pela Lei de Gauss:
E,(2pi s L)=lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(s)=lambda2pivarepsilon0,s
Escolho superfície cilíndrica de raio E(s)=12pivarepsilon0,2pirho0R^2/3s =rho0,R^23,varepsilon0,s, e comprimento . O campo é radial e constante em módulo, então
Substituindo :
na direção . Isso coincide com o campo de um fio fino com densidade .

Passo 4

No interior ( Qrm enc = integral0^srho0s'R,2pi s',ds' = 2pirho0Rintegral0^s s'^2 ds' = 2pirho0R,s^33 ), só muda o E(s),2pi s L =2pirho0,s^3L3R,varepsilon0 Longrightarrow E(s)=rho0,s^23,varepsilon0,R, . Agora integramos até :
Aplicando Gauss ( ) dá
também radial.

Passo 5

Gráfico de vs.\ :
  • Para , (curva subindo como parabólica).
  • No ponto , .
  • Para , (decai como hipérbole).
    Desenha uma curva que aumenta rápido até e depois decai suavemente.

Resposta

(a)
(b) Para : que bate com o fio infinito de densidade .
© Para :
(d) cresce como até chegando a e depois decai como .

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