9- O modelo logístico é usado para simular a população por:
Em que p é a população,
é a taxa de crescimento máxima sob condições ilimitadas e
é a capacidade de suporte. Simule a população mundial de 1950 a 2000 usando um os três métodos estudados. Use as seguintes condições iniciais e valores de parâmetros para sua simulação: po (em 1950)=2,555 milhões de pessoas,
/ano, e
milhões de pessoas. Faça a função gerar saídas correspondentes às datas para os seguintes dados populacionais medidos. Desenvolva um gráfico de sua simulação junto com os dados.
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2,555
3,040
3,708
4,454
5,276
6,079
|
|
1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 |
|
|
2,555 | 3,040 | 3,708 | 4,454 | 5,276 | 6,079 |
Passo 1
O enunciado pede que se faça uma simulação numérica, de
a
, da equação logística
usando os três métodos estudados, gerando saídas nas datas dos dados medidos e fazendo um gráfico comparando simulação e dados.
As informações fornecidas (pegar estes dados do enunciado) são:
As informações fornecidas (pegar estes dados do enunciado) são:
- Condição inicial:
(milhões de pessoas). - Taxa:
. - Capacidade de suporte:
(milhões). - Dados medidos (anos e populações, em milhões):
-
O que precisa ser entregue:
- Simulação numérica por três métodos (vamos explicá-los).
- Valores simulados nos anos
. - Um gráfico (vou explicar como gerar; aqui mostro os números que você pode colocar no gráfico).
Passo 2
Breve explicação do modelo e do termo de taxa (para você entender o que estamos integrando):
A equação logística escrita como
é uma ODE autônoma (a derivada depende só de
). Interpretação dos parâmetros:
-
é a população em milhões. -
é a taxa de crescimento máximo em condições não-limitadas. -
é a população de suporte (máximo assintótico).
Uma forma útil para calcular
numericamente é usar a álgebra
ou seja,
. Isso facilita cálculos manuais porque evita dividir duas vezes.
Também existe solução analítica fechada (útil como referência), que é
mas aqui o objetivo é praticar os métodos numéricos, então usaremos métodos tradicionais de integração numérica.
Passo 3
Escolha dos métodos e do passo de tempo:
Decisão prática: o enunciado pede saídas exatamente nas datas
. Para isso vou usar passo de tempo
anos (um passo por década). Isso facilita apresentar os valores nos anos pedidos e mantém a conta manejável à mão. Explico depois o efeito do
na precisão.
Os três métodos que vou usar (métodos comumente estudados):
-
Euler explícito (método mais simples):Aqui
é no tempo e é o passo (aqui anos). -
Euler aperfeiçoado / Heun (método do trapezoide explícito, também chamado improved Euler):
- Preditor:
- Corretor:
- Preditor:
-
Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4), método padrão de maior precisão:
Justificativa: Euler é o mais simples (útil para ver comportamento), Heun corrige a tendência usando média de inclinações, e RK4 é bem mais preciso para o mesmo
. Como o enunciado não especificou “os três”, interpretei como os três métodos clássicos (Euler, Heun, RK4). Se for outro trio (por ex. Euler, RK2 (midpoint), RK4), o procedimento é análogo; os resultados mudam pouco qualitativamente: RK4 tende a ser o melhor.
Passo 4
Preparação numérica e convenções de cálculo:
- Unidades: todas as populações são em milhões; as operações mantêm essa unidade.
- Parâmetros numéricos:
, , , . - Fórmula prática para
(evita duas divisões): Sempre que eu calcule faço: primeiro , depois , depois , depois multiplico por .
Vou agora iterar passo a passo de década em década. Em cada intervalo mostro os cálculos essenciais para cada método (valores arredondados com 5–6 dígitos para manter legibilidade).
Observação: os dados reais estão listados no Passo 1; vou sempre compará-los ao final.
Passo 5
Intervalo 1950 → 1960 (início
) — cálculo detalhado
Calcule
:
Euler explícito:
Heun (improved Euler):
- Preditor:
. - Calcular
: . - Corretor:
RK4:
-
. -
. -
. -
. - Combinar:
Resumo dos valores em 1960 (arredondados):
- Euler:
. - Heun:
. - RK4:
. - Dado real:
.
Passo 6
Intervalo 1960 → 1970 (usar
de cada método como ponto inicial)
Euler (inicial
):
-
. -
Heun (inicial
):
-
. - Preditor
. -
. -
RK4 (inicial
):
- Calculando
com as fórmulas do RK4 (veja o mesmo procedimento do passo anterior),
obtém-se
Comparação em 1970:
- Euler:
. - Heun:
. - RK4:
. - Dado real:
.
Passo 7
Intervalo 1970 → 1980
Euler (inicial
):
-
. -
Heun (inicial
):
-
. - Preditor
com . -
RK4 (inicial
):
- Aplicando RK4 obtemos
Comparação em 1980:
- Euler:
. - Heun:
. - RK4:
. - Dado real:
.
Passo 8
Intervalo 1980 → 1990
Euler (inicial
):
-
. -
Heun (inicial
):
-
. - Preditor
com . -
RK4 (inicial
):
- RK4 produz
.
Comparação em 1990:
- Euler:
. - Heun:
. - RK4:
. - Dado real:
.
Passo 9
Intervalo 1990 → 2000
Euler (inicial
):
-
. -
Heun (inicial
):
-
. - Preditor
com . -
RK4 (inicial
):
- RK4 produz
.
Comparação em 2000:
- Euler:
. - Heun:
. - RK4:
. - Dado real:
.
Passo 10
Interpretação, erros e como fazer o gráfico
- Observação geral: com passo
anos (decadal) os métodos mais sofisticados (Heun, RK4) ficam bem próximos dos dados; RK4 é o mais preciso entre os três para esse . Euler explícito tende a subestimar o crescimento tardio (ou superestimar dependendo do sinal do erro) e aqui ele fica mais distante dos dados na década final. - Se quiser melhorar a precisão sem trocar o método, diminua
(ex.: ou ano). RK4 com costuma ficar praticamente indistinguível da solução analítica para este problema. - Para gerar o gráfico (num software como Python/Matlab/Excel):
- Calcule as séries
para cada método nos anos (os valores que dei). - Plote no eixo
os anos e no eixo a população (milhões). - Coloque os pontos dos dados medidos como marcadores (por ex. círculos) e as curvas das simulações como linhas contínuas com cores diferentes; adicione legenda.
- Calcule as séries
- Avaliação prática: RK4 com
já aproxima muito bem os dados (erro de ordem decimais de 0,1–0,2 milhões em 2000); Heun é quase tão bom; Euler fica mais afastado. Em prova: se o enunciado pede apenas comparação rápida, é aceitável usar para obter os valores decadais; se pedirem precisão, justificar e usar menor.
Resposta
Euler explícito (passo
anos):
Heun / Euler aperfeiçoado (passo
anos):
Runge–Kutta 4 (RK4, passo
anos):