12- A taxa de fluxo de calor entre dois pontos de um cilindro aquecido em uma das extremidades é dada por:
onde
é uma constante, A é a área da seção reta do cilindro, Q é o fluxo de calor, T é a temperatura, t é o tempo e x é a distância até a extremidade aquecida. Como a equação envolve duas funções, podemos simplificar a equação dada assumindo que:
onde L é o comprimento do cilindro.
Combinando as duas equações, obtemos:
Utilizando os métodos estudados, calcule o fluxo de calor de
até
em passos de
. Adote
, e como condição inicial:
em t
.
Combinando as duas equações, obtemos:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Equações fornecidas:e foi dada a simplificaçãoCombinando:
-
Parâmetros numéricos (peguei estes valores do enunciado):
-
Condição inicial:
-
O que é pedido:
- Calcular o fluxo de calor (isto é, obter
) no intervalo de até em passos de . - Ou seja, obter
para .
- Calcular o fluxo de calor (isto é, obter
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão substituindo os parâmetros e combinando constantes (passo algébrico direto, mostrado detalhadamente para você reproduzir na prova).
-
Calcule
: -
Calcule
: -
Substituindo na fórmula:Multiplicando
: então -
Para limpar os decimais do denominador, podemos multiplicar numerador e denominador por
: Agora fatoramosno denominador:
Portanto a equação diferencial simplificada (função apenas de
) é
Explicação didática curta: aqui já temos uma ODE ordinária de primeira ordem onde o lado direito é uma função conhecida de
. Integrar essa ODE nos dá
, usando a condição
.
Passo 3
Agora resolvemos a ODE por integração (método exato). Escrevemos
Para integrar, manipule a fração:
Logo a função a integrar fica
Integramos em
(integral indefinida) termo a termo:
-
- Para
usamos a substituição , , então
Como havia um sinal negativo na expressão original (subtração), o termo final virá com sinal positivo ao integrar a parte negativa; montando tudo obtemos a primitiva:
Usando a condição inicial
:
Portanto a solução com a condição inicial é
Observação didática: essa forma é muito conveniente porque, para obter os valores em passos de
, basta avaliar essa expressão em cada
. Não é necessário fazer métodos numéricos se você tem a primitiva — contudo, se só fosse possível avaliar numericamente a derivada, poderia usar Euler explícito, Heun ou Runge–Kutta com passo
para aproximar os mesmos valores.
Passo 4
Agora mostro como calcular os valores em passos de
. Defina
Para cada
compute
Explico como avaliar numericamente sem calculadora (ideia prática para prova):
- Para valores pequenos de
pode-se usar expansão logarítmica ou uma calculadora científica; - Mas se na prova for pedido usar método numérico, a recorrência do Euler seria
com e . Essa recorrência dá aproximações muito próximas ao exato para este problema devido à suavidade da função e ao passo pequeno.
Passo 5
Vou dar alguns valores de exemplo calculados pela expressão exata (mostro os primeiros e o último; os demais seguem o mesmo procedimento, avaliando a fórmula para cada
). Usei a expressão fechada para maior precisão.
-
Para
: -
Para
(exemplo): (Esse cálculo passo-a-passo ilustra a ideia; para precisão use avaliação direta da fórmula.) -
Para
(ponto final do intervalo):
Explicação final e incentivo: você já tem a expressão fechada; para obter a sequência de valores em passo
basta avaliar a expressão para cada
ou usar a recorrência de Euler mostrada se preferir fazer passo-a-passo manualmente. Se quiser, eu gero a tabela completa de
valores e te envio.