12- A taxa de fluxo de calor entre dois pontos de um cilindro aquecido em uma das extremidades é dada por:
\frac{d Q}{d t}=\lambda A \frac{d T}{d t}
onde \lambda é uma constante, A é a área da seção reta do cilindro, Q é o fluxo de calor, T é a temperatura, t é o tempo e x é a distância até a extremidade aquecida. Como a equação envolve duas funções, podemos simplificar a equação dada assumindo que:
\frac{d T}{d t}=\frac{100(L-x)(20-t)}{100-x t}
onde L é o comprimento do cilindro.
Combinando as duas equações, obtemos:
\frac{d Q}{d t}=\lambda A \frac{100(L-x)(20-t)}{100-x t}
Utilizando os métodos estudados, calcule o fluxo de calor de \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} até \mathrm{t}=2 \mathrm{~s} em passos de 0,01 \mathrm{~s}. Adote \lambda=0,3 \mathrm{cal} . \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{A}=10 \mathrm{~cm}^{2}, \mathrm{~L}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{x}=2,5 \mathrm{~cm}, e como condição inicial: \mathrm{Q}=0 em t =0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equações fornecidas:
    \frac{dQ}{dt}=\lambda A\frac{dT}{dt}
    e foi dada a simplificação
    \frac{dT}{dt}=\frac{100(L-x)(20-t)}{100-x t}.
    Combinando:
    \frac{dQ}{dt}=\lambda A\frac{100(L-x)(20-t)}{100-x t}.
  • Parâmetros numéricos (peguei estes valores do enunciado):
    \lambda=0{,}3\\ \text{cal}\cdot\text{cm}/(\text{s}\,^{\circ}\text{C}),\quad A=10\\ \text{cm}^2,
L=20\\ \text{cm},\quad x=2{,}5\\ \text{cm}.
  • Condição inicial:
    Q(0)=0.
  • O que é pedido:
    • Calcular o fluxo de calor (isto é, obter Q(t)) no intervalo de \,t=0\\ \text{s} até \,t=2\\ \text{s} em passos de 0{,}01\\ \text{s}.
    • Ou seja, obter Q(t_k) para t_k=0,00,\;0,01,\;0,02,\ldots,\;2,00\\ \text{s}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão substituindo os parâmetros e combinando constantes (passo algébrico direto, mostrado detalhadamente para você reproduzir na prova).
  • Calcule \lambda A:
    \lambda A = 0{,}3\times 10 = 3{,}0.
  • Calcule 100(L-x):
    100(L-x)=100(20-2{,}5)=100\cdot 17{,}5=1750.
  • Substituindo na fórmula:
    \frac{dQ}{dt}=3{,}0\cdot\frac{1750(20-t)}{100-2{,}5 t}.
    Multiplicando 3{,}0\cdot 1750:
    3{,}0\cdot 1750 = 5250,
    então
    \frac{dQ}{dt}=\frac{5250(20-t)}{100-2{,}5 t}.
  • Para limpar os decimais do denominador, podemos multiplicar numerador e denominador por 2:
    \frac{5250(20-t)}{100-2{,}5 t} =\frac{10500(20-t)}{200-5t}.
    Agora fatoramos 5 no denominador:
    \frac{10500(20-t)}{5(40-t)}=\frac{2100(20-t)}{40-t}.
Portanto a equação diferencial simplificada (função apenas de t) é
\boxed{\frac{dQ}{dt}=2100\cdot\frac{20-t}{40-t}.}
Explicação didática curta: aqui já temos uma ODE ordinária de primeira ordem onde o lado direito é uma função conhecida de t. Integrar essa ODE nos dá Q(t), usando a condição Q(0)=0.

Passo 3

Agora resolvemos a ODE por integração (método exato). Escrevemos
\frac{dQ}{dt}=2100\left(\frac{20-t}{40-t}\right).
Para integrar, manipule a fração:
\frac{20-t}{40-t} = \frac{(40-t)-20}{40-t} = 1 - \frac{20}{40-t}.
Logo a função a integrar fica
2100\left(1-\frac{20}{40-t}\right)=2100 - \frac{42000}{40-t}.
Integramos em t (integral indefinida) termo a termo:
  • \displaystyle\int 2100\,dt = 2100 t.
  • Para \displaystyle\int \frac{42000}{40-t}\,dt usamos a substituição u=40-t, du=-dt, então \int \frac{42000}{40-t}\,dt = -42000\int \frac{1}{u}\,du = -42000\ln|u| = -42000\ln|40-t|.
Como havia um sinal negativo na expressão original (subtração), o termo final virá com sinal positivo ao integrar a parte negativa; montando tudo obtemos a primitiva:
Q(t)=2100 t + 42000\ln|40-t| + C.
Usando a condição inicial Q(0)=0:
0 = Q(0) = 2100\cdot 0 + 42000\ln(40) + C \quad\Rightarrow\quad C = -42000\ln(40).
Portanto a solução com a condição inicial é
\boxed{Q(t)=2100\,t + 42000\ln\!\left(\frac{40-t}{40}\right).}
Observação didática: essa forma é muito conveniente porque, para obter os valores em passos de 0{,}01\\ \text{s}, basta avaliar essa expressão em cada t_k. Não é necessário fazer métodos numéricos se você tem a primitiva — contudo, se só fosse possível avaliar numericamente a derivada, poderia usar Euler explícito, Heun ou Runge–Kutta com passo h=0{,}01 para aproximar os mesmos valores.

Passo 4

Agora mostro como calcular os valores em passos de h=0{,}01\\ \text{s}. Defina
t_k = 0{,}01\cdot k,\quad k=0,1,2,\ldots,200.
Para cada k compute
Q(t_k)=2100\,t_k + 42000\ln\!\left(\frac{40-t_k}{40}\right).
Explico como avaliar numericamente sem calculadora (ideia prática para prova):
  • Para valores pequenos de t_k pode-se usar expansão logarítmica ou uma calculadora científica;
  • Mas se na prova for pedido usar método numérico, a recorrência do Euler seria Q_{k+1}=Q_k + h\cdot 2100\cdot\frac{20-t_k}{40-t_k},com Q_0=0 e h=0{,}01. Essa recorrência dá aproximações muito próximas ao exato para este problema devido à suavidade da função e ao passo pequeno.

Passo 5

Vou dar alguns valores de exemplo calculados pela expressão exata (mostro os primeiros e o último; os demais seguem o mesmo procedimento, avaliando a fórmula para cada t_k). Usei a expressão fechada para maior precisão.
  • Para t=0{,}00\\ \text{s}:
    Q(0{,}00)=2100\cdot 0 + 42000\ln\!\left(\frac{40}{40}\right)=0.
  • Para t=0{,}01\\ \text{s} (exemplo):
    Q(0{,}01)=2100\cdot 0{,}01 + 42000\ln\!\left(\frac{39{,}99}{40}\right)\approx 10{,}5 + 42000\ln(0{,}99975)\approx 10{,}5 -10{,}500\dots\approx \text{(valor pequeno positivo, próximo de }0{,}0\text{)}.ó
    (Esse cálculo passo-a-passo ilustra a ideia; para precisão use avaliação direta da fórmula.)
  • Para t=2{,}00\\ \text{s} (ponto final do intervalo):
    Q(2{,}00)=2100\cdot 2 + 42000\ln\!\left(\frac{38}{40}\right) =4200 + 42000\ln(0{,}95)\approx 2045{,}681636\\ \text{cal}.
Explicação final e incentivo: você já tem a expressão fechada; para obter a sequência de valores em passo 0{,}01 basta avaliar a expressão para cada t_k ou usar a recorrência de Euler mostrada se preferir fazer passo-a-passo manualmente. Se quiser, eu gero a tabela completa de 201 valores e te envio.

Resposta

Q(t)=2100\,t + 42000\ln\!\left(\dfrac{40-t}{40}\right)
Q(2{,}00)\approx 2045{,}681636\\ \text{cal}

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