Um modelo primitivo de um átomo consiste de um núcleo +q cercado por uma nuvem esférica uniformemente carregada -q e raio a. Calcule a polarizabilidade \alpha atômica desse modelo de átomo.

Passo 1

O enunciado descreve um átomo modelo em que há um núcleo de carga +q envolto por uma nuvem esférica de carga total -q distribuída uniformemente num raio a. Queremos a polarizabilidade atômica \alpha, definida pela relação entre o momento dipolar induzido \mathbf{p} e o campo externo \mathbf{E}:
\mathbf{p} = \alpha\,\mathbf{E}.
Para isso, imaginamos que sob um campo uniforme \mathbf{E} o núcleo se desloca em relação à nuvem em uma pequena distância x, gerando um dipolo. Precisamos achar essa distância de equilíbrio e então calcular \mathbf{p}.

Passo 2

Quando o núcleo se desloca de x para a direita, pela lei de Gauss o campo elétrico gerado pela nuvem em qualquer ponto interno a ela (distância r\le a) é
\mathbf{E}_{\text{nuvem}}(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{Q_{\text{enc}}}{a^{3}}\,\mathbf{r}
onde Q_{\text{enc}}=-q e \mathbf{r} é o vetor posição relativo ao centro original da nuvem. Para nosso caso r=x e o campo fica
\mathbf{E}_{\text{nuvem}} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{q\,x}{a^{3}}\;\hat{\mathbf{x}},
o sinal menos indica que a nuvem atrai o núcleo de volta ao centro.

Passo 3

O núcleo de carga +q sofre duas forças:
  1. Força do campo externo \mathbf{E}:
\mathbf{F}_{\text{ext}} = q\,\mathbf{E}.
  1. Força restauradora da nuvem:
\mathbf{F}_{\text{rest}} = q\,\mathbf{E}_{\text{nuvem}} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{q^{2}\,x}{a^{3}}\;\hat{\mathbf{x}}.
Em equilíbrio \mathbf{F}_{\text{ext}} + \mathbf{F}_{\text{rest}} = \mathbf{0}, de modo que
q\,E = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{q^{2}\,x}{a^{3}} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4\pi\epsilon_{0}\,a^{3}}{q}\;E.

Passo 4

O momento dipolar induzido vale
\mathbf{p} = q\,\mathbf{x} = q \,\biggl(\frac{4\pi\epsilon_{0}\,a^{3}}{q}\,E\biggr)\hat{\mathbf{x}} = 4\pi\epsilon_{0}\,a^{3}\,\mathbf{E}.
Comparando com \mathbf{p}=\alpha\,\mathbf{E}, obtemos a polarizabilidade
\alpha = 4\pi\epsilon_{0}\,a^{3}.

Resposta

\displaystyle \alpha = 4\pi\epsilon_{0}\,a^{3}

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