Sabendo que o momento de dipolo de uma distribuição discreta de cargas é
\vec{p}=\sum_{n=1}^{n} q_{i} \vec{r}_{i}
Considere duas cargas opostas separadas por uma distância d, e obtenha o momento de dipolo para esse caso.

Passo 1

O enunciado dá a definição do momento de dipolo de uma distribuição discreta de cargas
\vec{p} = \sum_{i=1}^{N} q_{i} \,\vec{r}_{i}
e pede o momento de dipolo para o caso de duas cargas opostas +q e -q separadas por uma distância d. O conteúdo aqui é eletrostática, mais precisamente o cálculo de momento de dipolo de um par de cargas pontuais.

Passo 2

Escolhemos um eixo unitário \hat{u} ao longo da linha que une as cargas e colocamos as cargas simetricamente em relação à origem:
\vec{r}_{1} = +\frac{d}{2}\,\hat{u}\quad\text{com carga}\;q_{1}=+q,
\vec{r}_{2} = -\frac{d}{2}\,\hat{u}\quad\text{com carga}\;q_{2}=-q.

Passo 3

Aplicamos a definição do momento de dipolo na forma discreta:
\vec{p} = \sum_{i=1}^{2} q_{i}\,\vec{r}_{i} = q\,\vec{r}_{1} \;+\; (-q)\,\vec{r}_{2} = q\bigl(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}:
\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2} = \frac{d}{2}\,\hat{u} \;-\;\Bigl(-\frac{d}{2}\,\hat{u}\Bigr) = d\,\hat{u}.
Logo
\vec{p} = q\,d\,\hat{u}.
A direção de \vec{p} vai do centro da carga negativa para a carga positiva.

Resposta

\boxed{\vec{p} = q\,d\,\hat{u},}
onde \hat{u} é o versor que aponta da carga -q para a carga +q.

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