Para modelo e protótipo, mostre que, quando a gravidade e a inércia são as únicas forças envolvidas, a relação entre as vazões Q é igual à relação de comprimentos elevada à potência 5/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrarmos que, quando a gravidade e a inércia são as únicas forças envolvidas, a relação entre as vazões $ Q $ do modelo e do protótipo é igual à relação dos comprimentos elevados à potência $ \frac{5}{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de similaridade hidráulica e análise dimensional. Precisaremos entender como as forças de gravidade e inércia se relacionam com as dimensões do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as grandezas físicas envolvidas. As principais são:
  • Vazão ($ Q $): volume de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo.
  • Comprimento ($ L $): tamanho característico do sistema (como o diâmetro de um cano).
  • Aceleração da gravidade ($ g $).
  • Densidade do fluido ($ \rho $), assumindo que a fluidez é constante.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças envolvidas. Como só temos gravidade e inércia:
  • A força de inércia está relacionada à mudança de momentum do fluido.
  • A força de gravidade está relacionada ao peso do fluido agindo no sistema.

Passo 4

Para relacionar as vazões, usamos a análise dimensional. A ideia é que as equações que descrevem o sistema devem ser as mesmas para o modelo e o protótipo. Assim, as dimensões das grandezas devem se relacionar de forma consistente.

Passo 5

Vamos montar uma equação de balanceamento entre inércia e gravidade. A força inercial pode ser representada por $ \rho Q \frac{V}{L} $ e a força de gravidade por $ \rho g L^2 $. Igualando essas forças:
rho Q VL
Aqui, $ V $ é a velocidade do fluido.

Passo 6

Simplificando a equação, podemos cancelar a densidade $ \rho $ dos dois lados:
rho
Agora, precisamos relacionar a velocidade $ V $ com a vazão $ Q $. Sabemos que $ Q = V \times A $, onde $ A $ é a área da seção. Se considerarmos que a área $ A $ está relacionada ao comprimento $ L $ (por exemplo, em um cano circular, $ A \propto L^2 $), podemos expressar $ V $ em termos de $ Q $ e $ L $.

Passo 7

Substituindo $ V = \frac{Q}{A} $ na equação anterior:
V = QA
Assumindo $ A \propto L^2 $, vamos dizer $ A = k L^2 $, onde $ k $ é uma constante de proporcionalidade. Então:
Q QAL = g L^2
A propto L^2

Passo 8

Agora, isolamos $ Q^2 $:
Q^2
Aplicando a raiz quadrada dos dois lados para achar $ Q $:
Q^2 = k g L^5
Isso mostra que a vazão $ Q $ está relacionada ao comprimento $ L $ elevado à potência $ \frac{5}{2} $.

Resposta

Portanto, quando a gravidade e a inércia são as únicas forças envolvidas, a relação entre as vazões $ Q $ do modelo e do protótipo é igual à relação dos comprimentos elevados à potência $ \frac{5}{2} $, ou seja:
Q

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