(2,0) O modelo de queda livre diz que uma partícula descendo (velocidade negativa) está aumentando sua rapidez, portanto sua aceleração deve ser negativa a(t)=-g. Sabendo que a velocidade é dada por v(t)=integral a(t) d t, e o deslocamento é determinado por s(t)=integral v(t) d t. Conclua, utilizando integrais, que o deslocamento em queda livre é dado pela equação: s(t)=s0+v0 t-12 g t^2.
No caso de uma bola ser lançada para cima com velocidade inicial v0=49 m / s, na posição inicial s0=8 m, considerando g=9,8 m / s^2, em que posição estará a bola após o tempo t=5 s do lançamento.

Passo 1

O enunciado nos dá aceleração constante em queda livre como
a(t) = -g,
e diz que a velocidade é
v(t)=integral a(t),dt
e o deslocamento é
s(t)=integral v(t),dt
O que precisamos fazer é integrar duas vezes, cuidando das constantes de integração que serão fixadas pelas condições iniciais v(0)=v0 e s(0)=s0.

Passo 2

Integramos a(t)=-g para achar v(t):
v(t)=integral(-g),dt = -g,t + C1
Como v(0)=v0, temos C1=v0. Logo
v(t)=v0 - g,t

Passo 3

Agora integramos v(t)=v0 - g,t para achar s(t):
s(t)=integral(v0 - g,t),dt = v0,t - 12,g,t^2 + C2
Como s(0)=s0, segue C2=s0. Portanto, em display:
s(t) = s0 + v0,t - tfrac12,g,t^2

Passo 4

No caso numérico, v0=49,m/s, s0=8,m, g=9,8,m/s ^2 e t=5,s. Substituindo:
s(5) = 8 + 49cdot 5 - tfrac12cdot 9,8cdot 5^2 = 8 + 245 - 4,9cdot 25 = 8 + 245 - 122,5 = 130,5

Resposta

A bola estará em
130,5 m
após 5,s de lançamento.

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