QUESTÃO 4) (Valor 2,0) Um reservatório de altura H, mantido a pressão constante
, descarrega para a atmosfera através de um orificio de diâmetro d um líquido de massa específica e viscosidade dinâmica ; a uma vazão volumétrica Q, sobre a aceleração da gravidade g. Determine os grupos adimensionais, utilizando o teorema de Buckingham.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado nos dá as seguintes grandezas (peguei tudo do enunciado):
- Altura do reservatório:
(unidade de comprimento). - Pressão mantida no reservatório:
(pressão). - Diâmetro do orifício:
(comprimento). - Massa específica do líquido:
(densidade). - Viscosidade dinâmica do líquido:
. - Vazão volumétrica:
. - Aceleração da gravidade:
.
- Altura do reservatório:
-
O enunciado pede: determinar os grupos adimensionais usando o teorema de Buckingham (ou seja, encontrar os
-grupos independentes formados por essas variáveis).
Passo 2
Vou escrever as dimensões (em termos de massa
, comprimento
e tempo
) de cada grandeza — isso é essencial para aplicar Buckingham.
-
. -
pressão tem dimensão . -
. -
. -
viscosidade dinâmica tem dimensão . -
vazão volumétrica tem dimensão . -
.
Contagem: número de variáveis
. Número de dimensões fundamentais
. Pelo teorema de Buckingham haverá
grupos adimensionais independentes.
Passo 3
Breve lembrete (didático) do Teorema de Buckingham: dado um problema com
variáveis e
dimensões fundamentais, é possível formar
grupos adimensionais independentes
. Para construí-los escolhe-se um conjunto de
variáveis repetidas (que contenham todas as dimensões fundamentais) e, para cada uma das outras variáveis, constrói-se um produto da forma
escolhendo os expoentes de modo que as dimensões se anulem. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Escolha das variáveis repetidas (deve ser
variáveis, e elas precisam ser dimensionalmente independentes). Uma escolha conveniente é
Justificativa curta e prática:
traz a dimensão de massa
,
traz comprimento
, e
traz tempo
via
. Assim
combinadas conseguem representar
. Essa escolha é clássica para escoamentos influenciados pela gravidade e geometria do orifício.
As variáveis não repetidas serão então
. Para cada uma delas construiremos um
-grupo.
Passo 5
Estratégia técnica: para cada variável não repetida
(onde
) buscamos expoentes
tais que
seja adimensional. Vou escrever as equações de equilíbrio das potências de
e resolver para
. Faço isso separadamente para cada
.
Passo 6
Dimensões:
Queremos
. Multiplicando por
obtemos potências totais:
Logo
Passo 7
Dimensões:
Para
as equações são
Substituindo
e
:
Portanto
Interpretação curta:
é a pressão adimensionalizada pela escala hidrostática
.
Passo 8
Dimensões:
Para
:
Substituindo
e
:
Assim
Observação didática:
contém a viscosidade adimensionalizada com a combinação
. Se for útil na prova, pode-se reescrever em termos de números clássicos aproximados (ver passo seguinte).
Passo 9
Dimensões:
Para
:
Com
e
:
Logo
Interpretação:
é a vazão adimensionalizada pela escala típica
— combinação comum para vazões em escoamento por orifício sob gravidade.
Passo 10
Resumo e forma funcional (o teorema garante que a relação entre as variáveis pode ser escrita como uma relação entre os
-grupos):
ou equivalentemente
Ou seja, a vazão adimensional
é função dos outros três grupos adimensionais que descrevem a geometria (
), a pressão adimensional (
) e o efeito viscoso adimensional (
).