QUESTÃO 4) (Valor 2,0) Um reservatório de altura H, mantido a pressão constante \mathrm{P}_{\mathrm{in}}, descarrega para a atmosfera através de um orificio de diâmetro d um líquido de massa específica e viscosidade dinâmica ; a uma vazão volumétrica Q, sobre a aceleração da gravidade g. Determine os grupos adimensionais, utilizando o teorema de Buckingham.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá as seguintes grandezas (peguei tudo do enunciado):
    • Altura do reservatório: \,H (unidade de comprimento).
    • Pressão mantida no reservatório: \,P_{\text{in}} (pressão).
    • Diâmetro do orifício: \,d (comprimento).
    • Massa específica do líquido: \,\rho (densidade).
    • Viscosidade dinâmica do líquido: \,\mu.
    • Vazão volumétrica: \,Q.
    • Aceleração da gravidade: \,g.
  • O enunciado pede: determinar os grupos adimensionais usando o teorema de Buckingham (ou seja, encontrar os \pi-grupos independentes formados por essas variáveis).

Passo 2

Vou escrever as dimensões (em termos de massa \,M, comprimento \,L e tempo \,T) de cada grandeza — isso é essencial para aplicar Buckingham.
  • \,H:\\ [L].
  • \,P_{\text{in}}:\ pressão tem dimensão [M\,L^{-1}T^{-2}].
  • \,d:\\ [L].
  • \,\rho:\\ [M\,L^{-3}].
  • \,\mu: viscosidade dinâmica tem dimensão [M\,L^{-1}T^{-1}].
  • \,Q: vazão volumétrica tem dimensão [L^{3}T^{-1}].
  • \,g:\\ [L\,T^{-2}].
Contagem: número de variáveis n=7. Número de dimensões fundamentais m=3. Pelo teorema de Buckingham haverá n-m=4 grupos adimensionais independentes.

Passo 3

Breve lembrete (didático) do Teorema de Buckingham: dado um problema com n variáveis e m dimensões fundamentais, é possível formar n-m grupos adimensionais independentes \pi_i. Para construí-los escolhe-se um conjunto de m variáveis repetidas (que contenham todas as dimensões fundamentais) e, para cada uma das outras variáveis, constrói-se um produto da forma
\pi = (\text{variável não repetida})\cdot(\text{variáveis repetidas})^{\text{expoentes}}áãá
escolhendo os expoentes de modo que as dimensões se anulem. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Escolha das variáveis repetidas (deve ser m=3 variáveis, e elas precisam ser dimensionalmente independentes). Uma escolha conveniente é
\text{variáveis repetidas:}\quad \rho,\\ d,\\ g.á
Justificativa curta e prática: \rho traz a dimensão de massa M, d traz comprimento L, e g traz tempo T via T^{-2}. Assim \rho,\\ d,\\ g combinadas conseguem representar M,L,T. Essa escolha é clássica para escoamentos influenciados pela gravidade e geometria do orifício.
As variáveis não repetidas serão então \,H,\\ P_{\text{in}},\\ \mu,\\ Q. Para cada uma delas construiremos um \pi-grupo.

Passo 5

Estratégia técnica: para cada variável não repetida X (onde X\in\{H,P_{\text{in}},\mu,Q\}) buscamos expoentes a,b,c tais que
\pi = X\cdot \rho^{a}\, d^{b}\, g^{c}
seja adimensional. Vou escrever as equações de equilíbrio das potências de M,L,T e resolver para a,b,c. Faço isso separadamente para cada X.

Passo 6

Dimensões:
[H]=[L],\quad [\rho^{a}d^{b}g^{c}]=M^{a}L^{-3a+b+c}T^{-2c}.
Queremos [\pi_1]=M^{0}L^{0}T^{0}. Multiplicando por [H] obtemos potências totais:
M:\\ a=0,
T:\\\ -2c=0\\ \Rightarrow\\ c=0,
L:\\\ 1-3a+b+c=0\\ \Rightarrow\\\ 1+b=0\\ \Rightarrow\\ b=-1.
Logo
\pi_{1} = H\cdot \rho^{0} d^{-1} g^{0} = \frac{H}{d}.

Passo 7

Dimensões:
[P_{\text{in}}]=M^{1}L^{-1}T^{-2}.
Para \pi_2 = P_{\text{in}}\rho^{a}d^{b}g^{c} as equações são
M:\\\ 1+a=0\\ \Rightarrow\\ a=-1,
T:\\\ -2-2c=0\\ \Rightarrow\\ c=-1,
L:\\\ -1-3a+b+c=0.
Substituindo a=-1 e c=-1:
-1-3(-1)+b-1=0 \\ \Rightarrow\\\ -1+3+b-1=0 \Rightarrow b=-1.
Portanto
\pi_{2}=P_{\text{in}}\rho^{-1}d^{-1}g^{-1}=\frac{P_{\text{in}}}{\rho\,g\,d}.
Interpretação curta: \pi_{2} é a pressão adimensionalizada pela escala hidrostática \rho g d.

Passo 8

Dimensões:
[\mu]=M^{1}L^{-1}T^{-1}.
Para \pi_3=\mu\,\rho^{a}d^{b}g^{c}:
M:\\\ 1+a=0\\ \Rightarrow\\ a=-1,
T:\\\ -1-2c=0\\ \Rightarrow\\ c=-\tfrac{1}{2},
L:\\\ -1-3a+b+c=0.
Substituindo a=-1 e c=-\tfrac{1}{2}:
-1-3(-1)+b-\tfrac{1}{2}=0 \Rightarrow -1+3+b-\tfrac{1}{2}=0 \Rightarrow b=-\tfrac{3}{2}.
Assim
\pi_{3}=\mu\,\rho^{-1}d^{-3/2}g^{-1/2}=\frac{\mu}{\rho\,d^{3/2}\,g^{1/2}}.
Observação didática: \pi_{3} contém a viscosidade adimensionalizada com a combinação \rho d^{3/2}\sqrt{g}. Se for útil na prova, pode-se reescrever em termos de números clássicos aproximados (ver passo seguinte).

Passo 9

Dimensões:
[Q]=L^{3}T^{-1}.
Para \pi_4=Q\,\rho^{a}d^{b}g^{c}:
M:\\\ 0+a=0\\ \Rightarrow\\ a=0,
T:\\\ -1-2c=0\\ \Rightarrow\\ c=-\tfrac{1}{2},
L:\\\ 3-3a+b+c=0.
Com a=0 e c=-\tfrac{1}{2}:
3+b-\tfrac{1}{2}=0 \Rightarrow b=-\tfrac{5}{2}.
Logo
\pi_{4}=Q\,d^{-5/2}g^{-1/2}=\frac{Q}{d^{5/2}\,g^{1/2}}.
Interpretação: \pi_{4} é a vazão adimensionalizada pela escala típica \sqrt{g d^{5}} — combinação comum para vazões em escoamento por orifício sob gravidade.

Passo 10

Resumo e forma funcional (o teorema garante que a relação entre as variáveis pode ser escrita como uma relação entre os \pi-grupos):
F\!\big(\pi_{1},\pi_{2},\pi_{3},\pi_{4}\big)=0,
ou equivalentemente
\pi_{4}=\Phi\!\big(\pi_{1},\pi_{2},\pi_{3}\big).
Ou seja, a vazão adimensional \pi_{4} é função dos outros três grupos adimensionais que descrevem a geometria ( \pi_{1}), a pressão adimensional ( \pi_{2}) e o efeito viscoso adimensional ( \pi_{3}).

Resposta

\displaystyle \pi_{1}=\frac{H}{d}
\displaystyle \pi_{2}=\frac{P_{\text{in}}}{\rho\,g\,d}
\displaystyle \pi_{3}=\frac{\mu}{\rho\,d^{3/2}\,g^{1/2}}
\displaystyle \pi_{4}=\frac{Q}{d^{5/2}\,g^{1/2}}

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