Para o modelo de risco coletivo assumimos um processo aleatório que gera sinistros para uma carteira de apólices. Este processo é caracterizado em termos da carteira como um todo e não em termos das políticas individuais que compõem a carteira. A formulação matemática é a seguinte: Seja N o número de reclamações produzidas por uma carteira de apólices num determinado período de tempo. Seja X1 o valor do primeiro sinistro, X2 o valor do segundo sinistro e assim por diante. Então,
S=X1+X2+ldots+XN=sumi=1^N Xi
representa a severidade acumulada do sinistro agregado no intervalo de tempo t, gerados pela carteira no período em estudo. O número de sinistros, N, é uma variável aleatória e está associado à frequência de sinistros. Os valores de sinistros individuais X1, X2, ldots também são variáveis aleatórias e dizem medir a gravidade dos sinistros. Para tornar o modelo tratável, normalmente fazemos duas premissas:
i. X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X.
ii. As variáveis aleatórias Ne X1, X2, ldots são mutuamente independentes.
Assuma que a variável aleatória N sim Poisson(lambda) e que X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X que tem função densidade de probabilidade dada por
fX(x)=a b x^b-1 e^-a x^b I(0, infty)(x),
com a, b>0. Responda: Substitua a expressão de MX(t) em MS(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é sobre o modelo de risco coletivo em que:
  • Temos um número aleatório de sinistros fX(x) = a,b,x^b-1,e^-a x^b, x>0, num período, com .
  • Cada sinistro MS(t)=exp!l(lambda,[MX(t)-1]r) é iid com densidade ou seja, uma Weibull .
    O que eles querem é a transformada de momento (MGF) de , mas já usando a expressão de .
    Para isso vamos precisar:
  1. Saber que, para o modelo de Poisson composto,
  2. Calcular para a Weibull e, finalmente,
  3. encaixar essa dentro de .

Passo 2

Teoria básica de MGFs:
  • A MGF de uma rv MS(t)=El[e^tsumi=1^N Xir] =expl(lambda,[MX(t)-1]r) é .
  • Se e, dado , são iid e independentes de , então
Essa fórmula vem de escrever a soma condicionada em e usar a MGF de Poisson.

Passo 3

Agora, vamos achar
MX(t) =E[e^tX] =integral0^infty e^t x,fX(x),dx =integral0^infty e^t x,a,b,x^b-1,e^-a x^b,dx
Não há forma elementar simples (ela envolve funções especiais), mas a mantemos como integral ou chamamos de
MX(t) =a,bintegral0^infty x^b-1,e^-a x^b + t x,dx
Se você já viu expansões em série, pode escrever
e^t x =sumk=0^infty(t x)^kk! Longrightarrow MX(t) =sumk=0^inftyt^kk!,E[X^k],
mas para a nossa substituição basta a forma integral.

Passo 4

Agora é só colocar essa MS(t) =exp!l(lambdal[MX(t)-1r]r) =exp!l(lambdal[a,b!integral0^infty x^b-1e^-a x^b + t x,dx;-;1r]r) dentro da fórmula de . Assim,

Resposta

boxed MS(t) =expl(lambdal[MX(t)-1r]r) =exp!l(lambdal[a,b!integral0^inftyx^b-1e^-a x^b+t x,dx - 1r]r)

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