Para o modelo de risco coletivo assumimos um processo aleatório que gera sinistros para uma carteira de apólices. Este processo é caracterizado em termos da carteira como um todo e não em termos das políticas individuais que compõem a carteira. A formulação matemática é a seguinte: Seja N o número de reclamações produzidas por uma carteira de apólices num determinado período de tempo. Seja
o valor do primeiro sinistro, X2 o valor do segundo sinistro e assim por diante. Então,
representa a severidade acumulada do sinistro agregado no intervalo de tempo
, gerados pela carteira no período em estudo. O número de sinistros,
, é uma variável aleatória e está associado à frequência de sinistros. Os valores de sinistros individuais
também são variáveis aleatórias e dizem medir a gravidade dos sinistros. Para tornar o modelo tratável, normalmente fazemos duas premissas:
i.
são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória
.
ii. As variáveis aleatórias
são mutuamente independentes.
Assuma que a variável aleatória
e que
são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória
que tem função densidade de probabilidade dada por
com
. Responda: Substitua a expressão de
em
.
i.
ii. As variáveis aleatórias
Assuma que a variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão é sobre o modelo de risco coletivo em que:
- Temos um número aleatório de sinistros
num período, com . - Cada sinistro
é iid com densidade ou seja, uma Weibull .
O que eles querem é a transformada de momento (MGF) de, mas já usando a expressão de .
Para isso vamos precisar:
- Saber que, para o modelo de Poisson composto,
- Calcular
para a Weibull e, finalmente, - encaixar essa
dentro de .
Passo 2
Teoria básica de MGFs:
- A MGF de uma rv
é . - Se e, dado
, são iid e independentes de , então
Essa fórmula vem de escrever a soma condicionada em
e usar a MGF de Poisson.
Passo 3
Agora, vamos achar
Não há forma elementar simples (ela envolve funções especiais), mas a mantemos como integral ou chamamos de
Se você já viu expansões em série, pode escrever
mas para a nossa substituição basta a forma integral.
Passo 4
Agora é só colocar essa
dentro da fórmula de
. Assim,