Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=2. Calcule P[N(2)+N(5)=4].

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão diz que Pl[N(2) + N(5) = 4r] é um processo de Poisson com taxa . A gente precisa achar
O conteúdo envolvido é processo de Poisson, mais especificamente:
  1. Incrementos independentes e estacionários.
  2. Como dividir o processo em intervalos para explorar essa independência.
Para resolver isso, a gente vai:
  • identificar subintervalos independentes;
  • escrever e nesses termos;
  • somar as probabilidades correspondentes.

Passo 2

Primeiro, chama
X = N(2), Y = N(5) - N(2)
Pela propriedade de incrementos independentes e estacionários do processo de Poisson:
  • N(5) = X + Y, ,
  • N(2) + N(5) = X + (X + Y) = 2X + Y ,
    e P(2X + Y = 4) e são independentes.
Repare que
então
Queremos

Passo 3

Como P(2X + Y = 4) = sumx=0^2 P(X=x),Pl(Y=4-2xr) e P(2X + Y = 4) &= sumx=0^2 l(e^-44^xx!r) l(e^-66^,4-2x(4-2x)!r) &= e^-10 l[ 4^00!6^44! +4^11!6^22! +4^22!6^00! r] são independentes, podemos fazer uma soma sobre todos os valores possíveis de P(2X+Y=4) = e^-10cdot 134 que venham a satisfazer .
Só tem três casos:
  • e ;
  • e ;
  • e .
Logo
Sabendo que
e
, temos:
Agora calculando cada termo:
  • : .
  • : .
  • : .
Somando: .
Então

Resposta

boxedP[N(2)+N(5)=4] = 134,e^-10approx 0.0061

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