Se o processo de contagem
é um processo de Poisson com taxa
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão diz que
é um processo de Poisson com taxa
. A gente precisa achar
O conteúdo envolvido é processo de Poisson, mais especificamente:
- Incrementos independentes e estacionários.
- Como dividir o processo em intervalos para explorar essa independência.
Para resolver isso, a gente vai:
- identificar subintervalos independentes;
- escrever
e nesses termos; - somar as probabilidades correspondentes.
Passo 2
Primeiro, chama
Pela propriedade de incrementos independentes e estacionários do processo de Poisson:
-
, -
,
ee são independentes.
Repare que
então
Queremos
Passo 3
Como
e
são independentes, podemos fazer uma soma sobre todos os valores possíveis de
que venham a satisfazer
.
Só tem três casos:
-
e ; -
e ; -
e .
Logo
Sabendo que
e
, temos:
Agora calculando cada termo:
-
: . -
: . -
: .
Somando:
.
Então