Uma seguradora dará um brinde a cada décimo terceiro cliente que adquirirem um determinado produto. Se o número de clientes que adquirirem o produto segue um processo de Poisson com taxa lambda>0. Se M(t) é o número de clientes que receberam o brinde no intervalo [0, t]. Calcule P[M(t)= 3].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que clientes chegam segundo um processo de Poisson com taxa lambda>0 e que a seguradora dá um brinde a cada décimo terceiro comprador. Chamamos de M(t) o número de brindes dados até o tempo t. A matéria envolvida é processo de Poisson (contagem de chegadas) e como transformar essa contagem em “brindes” (divisão inteira por 13). Para resolver, a gente vai lembrar que se N(t) é o número de clientes em [0,t], então N(t)simPois(lambda t) e que M(t)=lfloor N(t)/13rfloor.

Passo 2

Agora, para dar exatamente 3 brindes, a gente precisa que M(t)=3, ou seja:
lfloor N(t)/13rfloor = 3
Isso ocorre quando o total de clientes N(t) está entre 3cdot 13=39 e 4cdot 13-1=51, porque assim, dividindo por 13 e tirando a parte inteira, dá 3. Em símbolos:
M(t)=3 Long<=ftrightarrow 39 <= N(t)<= 51
Também lembramos que, por ser processo de Poisson,
P[N(t)=n]=e^-lambda t,(lambda t)^nn!,

Passo 3

Juntando tudo, a probabilidade de M(t)=3 é a soma das probabilidades de N(t)=n para n=39,40,dots,51. Logo:
Pl(M(t)=3r) =sumn=39^51P[N(t)=n] =sumn=39^51e^-lambda t,(lambda t)^nn!

Resposta

$\displaystyle P\bigl(M(t)=3\bigr)
=\sum_{n=39}{51}e{-\lambda t},\frac{(\lambda t)^n}{n!},. $

Exercícios relacionados