Uma seguradora dará um brinde a cada décimo terceiro cliente que adquirirem um determinado produto. Se o número de clientes que adquirirem o produto segue um processo de Poisson com taxa
. Se
é o número de clientes que receberam o brinde no intervalo
. Calcule
3].
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que clientes chegam segundo um processo de Poisson com taxa
e que a seguradora dá um brinde a cada décimo terceiro comprador. Chamamos de
o número de brindes dados até o tempo
. A matéria envolvida é processo de Poisson (contagem de chegadas) e como transformar essa contagem em “brindes” (divisão inteira por 13). Para resolver, a gente vai lembrar que se
é o número de clientes em
, então
e que
.
Passo 2
Agora, para dar exatamente 3 brindes, a gente precisa que
, ou seja:
Isso ocorre quando o total de clientes
está entre
e
, porque assim, dividindo por 13 e tirando a parte inteira, dá 3. Em símbolos:
Também lembramos que, por ser processo de Poisson,
Passo 3
Juntando tudo, a probabilidade de
é a soma das probabilidades de
para
. Logo:
Resposta
$\displaystyle P\bigl(M(t)=3\bigr)
=\sum_{n=39}{51}e{-\lambda t},\frac{(\lambda t)^n}{n!},. $
=\sum_{n=39}{51}e{-\lambda t},\frac{(\lambda t)^n}{n!},. $