Para o modelo de risco coletivo assumimos um processo aleatório que gera sinistros para uma carteira de apólices. Este processo é caracterizado em termos da carteira como um todo e não em termos das políticas individuais que compõem a carteira. A formulação matemática é a seguinte: Seja N o número de reclamações produzidas por uma carteira de apólices num determinado período de tempo. Seja X1 o valor do primeiro sinistro, X2 o valor do segundo sinistro e assim por diante. Então,
S=X1+X2+ldots+XN=sumi=1^N Xi
representa a severidade acumulada do sinistro agregado no intervalo de tempo t, gerados pela carteira no período em estudo. O número de sinistros, N, é uma variável aleatória e está associado à frequência de sinistros. Os valores de sinistros individuais X1, X2, ldots também são variáveis aleatórias e dizem medir a gravidade dos sinistros. Para tornar o modelo tratável, normalmente fazemos duas premissas:
i. X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X.
ii. As variáveis aleatórias Ne X1, X2, ldots são mutuamente independentes.
Assuma que a variável aleatória N sim Poisson(lambda) e que X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X que tem função densidade de probabilidade dada por
fX(x)=a b x^b-1 e^-a x^b I(0, infty)(x),
com a, b>0. Responda: Calcule E(S) usando E[E(S mid N)].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um modelo de risco coletivo em que
  • N é o número de sinistros num período e segue Poisson(λ).
  • Os valores dos sinistros X₁, X₂, … são iid com densidade fX(x)=a,b,x^b-1e^-a,x^b, I(0,∞)(x)(a,b>0)
    Queremos achar
    S=sumi=1^N Xi
e, em especial, calcular E(S) usando a lei da expectativa total. Vamos precisar de:
  1. Lei da expectativa total: E(S)= El[ E(Smid N)r]
    2) Linearidade da esperança e independência de N e dos Xᵢ.
    3) Cálculo de E(X) via integral.

Passo 2

Aplicamos a lei da expectativa total:
E(S)= El[ E(Smid N)r]
Então primeiro a gente acha E(Smid N=n) e depois tira expectativa sobre N.

Passo 3

Condicional a N=n, rolou exatamente n sinistros, logo
Smid(N=n)=X1+cdots+Xn
Pela linearidade da esperança e porque os Xᵢ são iid,
E(Smid N=n) = E(X1)+cdots+ E(Xn) =n, E(X)
Isso dá
E(S) = El[n, E(X)r] = E(X), E(N),
já que N e os Xᵢ são independentes.

Passo 4

Sabemos que, para Poisson(λ),
E(N)=lambda
Então falta achar E(X) onde
E(X) =integral0^inftyx,fX(x),dx =integral0^inftyx,(a,b,x^b-1e^-a x^b),dx =a,bintegral0^inftyx^b,e^-a x^bdx

Passo 5

Para resolver
I=integral0^inftyx^b,e^-a x^bdx,
fazemos a substituição x=l(tfractar)^1/b, dx=tfrac1b,a^-1/b,t^tfrac1b-1dt . Então
I =integral0^inftyl(tfractar)e^-t, tfrac1b,a^-1/b,t^tfrac1b-1dt =tfrac1b,a^-b+1b integral0^inftyt^1+tfrac1b-1e^-tdt =tfrac1b,a^-b+1b, Gamma!l(1+tfrac1br)
Isso leva a
E(X) =a,b;I =a,b;1b,a^-b+1b, Gamma!l(1+tfrac1br) =a^-1b,Gamma!l(1+tfrac1br)
Multiplicando por , obtemos

Resposta

Juntando tudo,
boxed, E(S) = E(N), E(X) =lambda;l(a^-tfrac1b,Gamma(1+tfrac1b)r) =lambda,a^-1b,Gamma!l(1+tfrac1br) ,

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