Se X, Y1, Y2 são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros respectivamente lambda>0 e mui>0. Calcule .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três variáveis aleatórias independentes:
  • X ∼ Exp(λ)
  • Y₁ ∼ Exp(μ₁)
  • Y₂ ∼ Exp(μ₂)
A tarefa é achar
Pl[X > max(Y1,Y2)r]
O conteúdo aqui é probabilidade com variáveis exponenciais e integração. Vamos precisar:
  1. A função densidade de X;
  2. A função de distribuição (CDF) de Y₁, Y₂;
  3. Integrar para obter a probabilidade.

Passo 2

A gente sabe que
X > max(Y1,Y2) ;=;X>Y1,e,X>Y2
Como X é independente de Y₁,Y₂, dá pra escrever
P(X>max(Y1,Y2)) =integral0^inftyP(Y1
Aqui:
  • é a densidade de X.

Passo 3

Substituindo no integral:
P(X>max(Y1,Y2)) =integral0^inftyl(1-e^-mu1xr)l(1-e^-mu2xr),lambda e^-lambda x,dx
Vamos expandir o produto (1-e^-mu1x)(1-e^-mu2x) =1 - e^-mu1x - e^-mu2x + e^-(mu1+mu2)x :
integral0^inftylambda e^-lambda x,dx -integral0^inftylambda e^-(lambda+mu1)x,dx -integral0^inftylambda e^-(lambda+mu2)x,dx +integral0^inftylambda e^-(lambda+mu1+mu2)x,dx
Então o integral vira soma de quatro termos:

Passo 4

Cada integral é fácil, pois P(X>max(Y1,Y2)) =1 -lambdalambda+mu1 -lambdalambda+mu2 +lambdalambda+mu1+mu2 . Logo obtemos:

Resposta

boxed Pl[X>max(Y1,Y2)r] =1 -lambdalambda+mu1 -lambdalambda+mu2 +lambdalambda+mu1+mu2

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