Se
são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros respectivamente
e
. Calcule .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos três variáveis aleatórias independentes:
- X ∼ Exp(λ)
- Y₁ ∼ Exp(μ₁)
- Y₂ ∼ Exp(μ₂)
A tarefa é achar
O conteúdo aqui é probabilidade com variáveis exponenciais e integração. Vamos precisar:
- A função densidade de X;
- A função de distribuição (CDF) de Y₁, Y₂;
- Integrar para obter a probabilidade.
Passo 2
A gente sabe que
Como X é independente de Y₁,Y₂, dá pra escrever
Aqui:
-
é a densidade de X. -
Passo 3
Substituindo no integral:
Vamos expandir o produto
:
Então o integral vira soma de quatro termos:
Passo 4
Cada integral é fácil, pois
. Logo obtemos: