Se
são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros respectivamente
e
. Calcule
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos três variáveis aleatórias independentes
, cada uma com distribuição exponencial de parâmetros
. Queremos a probabilidade
.
Conteúdo: probabilidade contínua, distribuição exponencial e integração de densidades. Vamos usar que, por independência, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais e calcular a integral tripla nessa região.
Conteúdo: probabilidade contínua, distribuição exponencial e integração de densidades. Vamos usar que, por independência, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais e calcular a integral tripla nessa região.
Passo 2
Teoria da distribuição exponencial e independência
– Se , sua densidade é
– Se
– Para variáveis independentes, a densidade conjunta é
Então
Passo 3
Integral em
(mais interna):
Agora a integral fica
Passo 4
Integral em
:
Substituindo, a probabilidade vira
Passo 5
Integral em
:
Logo juntando tudo: