Se Xi, i=1,2,3 são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetros respectivamente lambda1>0, lambda2>0 e lambda3>0. Calcule P(X1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três variáveis aleatórias independentes , cada uma com distribuição exponencial de parâmetros . Queremos a probabilidade .
Conteúdo: probabilidade contínua, distribuição exponencial e integração de densidades. Vamos usar que, por independência, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais e calcular a integral tripla nessa região.

Passo 2

Teoria da distribuição exponencial e independência
– Se fX(x)=lambda,e^-lambda x,&x>=0,0,&x<0 , sua densidade é
fX1,X2,X3(x1,x2,x3) =fX1(x1),fX2(x2),fX3(x3)
– Para variáveis independentes, a densidade conjunta é
P(X1
Então

Passo 3

Integral em integralx2^inftylambda3e^-lambda3x3,dx3 =e^-lambda3x2 (mais interna):
integral0^infty! integralx1^infty lambda1e^-lambda1x1, lambda2e^-lambda2x2,e^-lambda3x2 ,dx2,dx1 =integral0^infty! integralx1^infty lambda1e^-lambda1x1, lambda2e^-(lambda2+lambda3)x2 ,dx2,dx1
Agora a integral fica

Passo 4

Integral em integralx1^inftylambda2e^-(lambda2+lambda3)x2,dx2 =lambda2lambda2+lambda3,e^-(lambda2+lambda3)x1 :
integral0^infty lambda1e^-lambda1x1 cdotlambda2lambda2+lambda3 ,e^-(lambda2+lambda3)x1 ,dx1 =lambda2lambda2+lambda3 integral0^inftylambda1e^-(lambda1+lambda2+lambda3)x1,dx1
Substituindo, a probabilidade vira

Passo 5

Integral em integral0^inftylambda1e^-(lambda1+lambda2+lambda3)x1,dx1 =lambda1lambda1+lambda2+lambda3 :
Logo juntando tudo:

Resposta

boxed P(X1

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