Para o modelo de risco coletivo assumimos um processo aleatório que gera sinistros para uma carteira de apólices. Este processo é caracterizado em termos da carteira como um todo e não em termos das políticas individuais que compõem a carteira. A formulação matemática é a seguinte: Seja N o número de reclamações produzidas por uma carteira de apólices num determinado período de tempo. Seja
o valor do primeiro sinistro, X2 o valor do segundo sinistro e assim por diante. Então,
representa a severidade acumulada do sinistro agregado no intervalo de tempo
, gerados pela carteira no período em estudo. O número de sinistros,
, é uma variável aleatória e está associado à frequência de sinistros. Os valores de sinistros individuais
também são variáveis aleatórias e dizem medir a gravidade dos sinistros. Para tornar o modelo tratável, normalmente fazemos duas premissas:
i.
são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória
.
ii. As variáveis aleatórias
são mutuamente independentes.
Assuma que a variável aleatória
e que
são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória
que tem função densidade de probabilidade dada por
com
. Responda: Calcule
usando
.
i.
ii. As variáveis aleatórias
Assuma que a variável aleatória
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um modelo de risco coletivo onde:
- N é o número de sinistros num período e segue Poisson(λ).
- X₁, X₂, … são as gravidades (severidades) dos sinistros, iid com pdf
Queremos achar
com
, usando a função geradora de momentos
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber o MGF de uma soma composta (compound) via mgf condicional.
- O mgf de Poisson e a relação
. - A regra de que
. - Calcular
da distribuição dada (é uma Weibull).
Passo 2
Primeiro montamos o mgf de
. Por definição,
Condicionando em
,
e como os
são iid,
Logo
Passo 3
Agora usamos a regra
. Então diferenciamos:
Em
, temos
e
. Por isso
Mas
. Logo
Passo 4
Falta achar
para a pdf Weibull dada. Por definição
Fazendo a troca de variável
, ou usando a forma padrão de integral de Weibull, sabe-se que
Multiplicando por
dá