Para o modelo de risco coletivo assumimos um processo aleatório que gera sinistros para uma carteira de apólices. Este processo é caracterizado em termos da carteira como um todo e não em termos das políticas individuais que compõem a carteira. A formulação matemática é a seguinte: Seja N o número de reclamações produzidas por uma carteira de apólices num determinado período de tempo. Seja X1 o valor do primeiro sinistro, X2 o valor do segundo sinistro e assim por diante. Então,
S=X1+X2+ldots+XN=sumi=1^N Xi
representa a severidade acumulada do sinistro agregado no intervalo de tempo t, gerados pela carteira no período em estudo. O número de sinistros, N, é uma variável aleatória e está associado à frequência de sinistros. Os valores de sinistros individuais X1, X2, ldots também são variáveis aleatórias e dizem medir a gravidade dos sinistros. Para tornar o modelo tratável, normalmente fazemos duas premissas:
i. X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X.
ii. As variáveis aleatórias Ne X1, X2, ldots são mutuamente independentes.
Assuma que a variável aleatória N sim Poisson(lambda) e que X1, X2, ldots são variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica ou identicamente distribuídas a uma variável aleatória X que tem função densidade de probabilidade dada por
fX(x)=a b x^b-1 e^-a x^b I(0, infty)(x),
com a, b>0. Responda: Calcule E(S) usando MS(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um modelo de risco coletivo onde:
  • N é o número de sinistros num período e segue Poisson(λ).
  • X₁, X₂, … são as gravidades (severidades) dos sinistros, iid com pdf fX(x)=a,b,x^b-1e^-a x^b,1(0,infty)(x), a,b>0
Queremos achar com , usando a função geradora de momentos .
O que vamos precisar:
  1. Saber o MGF de uma soma composta (compound) via mgf condicional.
  2. O mgf de Poisson e a relação .
  3. A regra de que .
  4. Calcular da distribuição dada (é uma Weibull).

Passo 2

Primeiro montamos o mgf de MS(t)=E[e^tS] =E[E(e^tSmid N)] . Por definição,
E(e^tSmid N=n) =(MX(t))^n
Condicionando em MS(t) =sumn=0^infty (MX(t))^ne^-lambdalambda^nn! =e^-lambdasumn=0^infty(lambda MX(t))^nn! =exp!(lambda,(MX(t)-1)) , e como os são iid,
Logo

Passo 3

Agora usamos a regra MS'(t) =ddtexp!(lambda,(MX(t)-1)) =exp!(lambda,(MX(t)-1));lambda,MX'(t) . Então diferenciamos:
E(S) =MS'(0) =lambda,MX'(0)
Em E(S)=lambda,E(X) , temos e . Por isso
Mas . Logo

Passo 4

Falta achar E(X) =integral0^infty x,fX(x),dx =integral0^infty x,(a,b,x^b-1e^-a x^b),dx =a,bintegral0^inftyx^b e^-a x^b,dx para a pdf Weibull dada. Por definição
integral0^inftyx^b e^-a x^bdx =1b,a^-1-1bGamma(1+1b)
Fazendo a troca de variável E(X) =a,bcdot1ba^-1-1b,Gamma(1+1b) =a^-1/b,Gamma(1+tfrac1b) , ou usando a forma padrão de integral de Weibull, sabe-se que
Multiplicando por

Resposta

boxedE(S)=lambda,E(X) =lambda,a^-1/b,Gammal(1+tfrac1br)

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