Um modelo simples que descreve a atmosfera terrestre assume que a densidade do ar decai exponencialmente com a altura. (Isto seria correto se a atmosfera fosse um gás ideal monoatômico e com temperatura constante.)
Determine a massa total da atmosfera, supondo que esta está distribuída a partir do raio médio terrestre (6.371 times 10^3 m) até o infinito. A densidade na superfície é rho0=1,2 kg / m^3 e a constante de decaimento é lambda=mu g / kB T, onde mu é a massa das moléculas que formam o gás, g é a aceleração da gravidade, kB=1.38 times 10^-23 J K^-1 é a constante de Boltzmann e T é a temperatura média. Considere, neste cálculo, que a atmosfera é formada apenas por Nitrogênio ( mu=2,3 times 10^-26 kg ) com uma temperatura média de T=288 K.

Passo 1

Vamos modelar a densidade da atmosfera como decaimento exponencial a partir do raio médio da Terra, usando o conceito de gás ideal monoatómico a temperatura constante. Precisamos integrar essa densidade sobre o volume esférico para obter a massa total.

Passo 2

A densidade em função do raio r é dada por rho(r)=rho0,e^-lambda (r-RE), onde RE é o raio da Terra. Um elemento de massa é dm=rho(r),dV e, em coordenadas esféricas, dV=4pi r^2,dr. Assim, a massa total é
M=integralRE^infty4pi r^2rho0,e^-lambda(r-RE),dr

Passo 3

Para facilitar, definimos a altura h=r-RE. Então r=h+RE e a integral vira
M=4pirho0integral0^infty(h+RE)^2e^-lambda h,dh
Expandindo (h+RE)^2=h^2+2REh+RE^2, temos três integrais do tipo integral0^infty h^n e^-lambda hdh.

Passo 4

Usamos o resultado geral de integrais de decaimento exponencial:
integral0^inftyh^n e^-lambda h,dh=n!lambda^n+1
Logo,
integral0^inftyh^2e^-lambda hdh=2lambda^3, integral0^inftyh e^-lambda hdh=1lambda^2, integral0^inftye^-lambda hdh=1lambda
Substituindo em M, obtemos
M=4pirho0l(2lambda^3+2RE1lambda^2+RE^21lambdar) =4pirho0RE^2+2RE/lambda+2/lambda^2lambda

Passo 5

Agora calculamos a constante de decaimento
lambda=mu gkB T,
com mu=2,3times10^-26,kg, g=9,8,m/s^2, kB=1,38times10^-23,J/K e T=288,K. Substituindo,
lambdaapprox5,7times10^-5,m^-1, 1lambdaapprox1,76times10^4,m

Passo 6

Finalmente, substituímos rho0=1,2,kg/m^3, RE=6,371times10^3,m e lambda na expressão de M e calculamos numericamente para obter a massa total da atmosfera.

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