Um modelo simples que descreve a atmosfera terrestre assume que a densidade do ar decai exponencialmente com a altura. (Isto seria correto se a atmosfera fosse um gás ideal monoatômico e com temperatura constante.)
Determine a massa total da atmosfera, supondo que esta está distribuída a partir do raio médio terrestre
até o infinito. A densidade na superfície é
e a constante de decaimento é
, onde
é a massa das moléculas que formam o gás,
é a aceleração da gravidade,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura média. Considere, neste cálculo, que a atmosfera é formada apenas por Nitrogênio (
) com uma temperatura média de
.
Determine a massa total da atmosfera, supondo que esta está distribuída a partir do raio médio terrestre
Passo 1
Vamos modelar a densidade da atmosfera como decaimento exponencial a partir do raio médio da Terra, usando o conceito de gás ideal monoatómico a temperatura constante. Precisamos integrar essa densidade sobre o volume esférico para obter a massa total.
Passo 2
A densidade em função do raio r é dada por
, onde
é o raio da Terra. Um elemento de massa é
e, em coordenadas esféricas,
. Assim, a massa total é
Passo 3
Para facilitar, definimos a altura
. Então
e a integral vira
Expandindo
, temos três integrais do tipo
.
Passo 4
Usamos o resultado geral de integrais de decaimento exponencial:
Logo,
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Agora calculamos a constante de decaimento
com
,
,
e
. Substituindo,
Passo 6
Finalmente, substituímos
,
e
na expressão de
e calculamos numericamente para obter a massa total da atmosfera.