Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa ( \mathrm{m}=6,64 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a 30,0 \mathrm{MeV} e largura de 2,0 \mathrm{fm}.
(b) Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está 10,0 \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de tunelamento de uma partícula alfa presa por uma barreira quadrada. Dados do enunciado que vamos usar (todos obrigatórios):
  • massa da partícula alfa: \displaystyle m=6,64\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • altura da barreira: \displaystyle V_0=30{,}0\\ \mathrm{MeV}.
  • largura da barreira: \displaystyle a=2{,}0\\ \mathrm{fm}=2{,}0\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
  • a energia cinética da partícula está 10{,}0\\ \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira, ou seja \displaystyle V_0-E=10{,}0\\ \mathrm{MeV}.
Pergunta concreta: qual é a probabilidade de tunelamento (coeficiente de transmissão) com esses dados?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
Quando uma partícula com energia \displaystyle E tenta atravessar uma barreira de potencial com altura \displaystyle V_0>E, a função de onda no interior da barreira decai exponencialmente. A constante de decaimento (número de onda imaginário) é
\kappa=\frac{\sqrt{2m\,(V_0-E)}}{\hbar},
onde:
  • \displaystyle m é a massa da partícula (em kg),
  • \displaystyle V_0-E é a diferença de energia entre a barreira e a partícula (em joules),
  • \displaystyle \hbar é a constante de Planck reduzida, \displaystyle \hbar\approx1{,}0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Para uma barreira quadrada de largura \displaystyle a e se \displaystyle \kappa a não for muito pequeno, uma boa estimativa simples para a probabilidade de tunelamento é a forma exponencial
T \approx e^{-2\kappa a}.
Explicação intuitiva: a onda decai como e^{-\kappa x} dentro da barreira; atravessar largura a produz uma atenuação e^{-\kappa a} na amplitude, e a probabilidade é proporcional ao quadrado da amplitude, daí e^{-2\kappa a}.
Observação prática: existe uma expressão exata (obtida por casar soluções em cada região) para o coeficiente de transmissão de uma barreira retangular quando \displaystyle E<V_0:
T=\left[1+\frac{V_0^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}.
Essa expressão inclui efeitos de reflexão múltipla dentro da barreira; a aproximação exponencial é frequentemente usada para estimativas rápidas e costuma dar a ordem de grandeza correta. Vou calcular primeiro pela forma exponencial (mais simples) e depois comparar rapidamente com a expressão exata para conferir a validade.

Passo 3

Converter energias de \mathrm{MeV} para joules (para usar no \kappa com unidades SI). Constante:
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Portanto
V_0-E = 10{,}0\\ \mathrm{MeV}=10{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{eV}=10{,}0\times10^{6}\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calculemos:
V_0-E = 10{,}0\times10^{6}\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}602176634\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular \kappa passo a passo usando
\kappa=\frac{\sqrt{2m\,(V_0-E)}}{\hbar}.
Substituindo os valores (todos em SI):
2m\,(V_0-E)=2\times(6{,}64\times10^{-27})\times(1{,}602176634\times10^{-12})\\ \mathrm{J\cdot kg}.
Multiplicando:
2m\,(V_0-E)=2\times6{,}64\times1{,}602176634\times10^{-27-12} =21{,}28656\times10^{-39} =2{,}128656\times10^{-38}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{2m\,(V_0-E)}=\sqrt{2{,}128656\times10^{-38}}=1{,}45953\times10^{-19}\\ \mathrm{kg^{1/2}m^{1/2}/s}.
Dividindo por \hbar:
\kappa=\frac{1{,}45953\times10^{-19}}{1{,}0545718\times10^{-34}} =1{,}3843\times10^{15}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Calcular \kappa a e 2\kappa a:
a=2{,}0\\ \mathrm{fm}=2{,}0\times10^{-15}\\ \mathrm{m},
\kappa a = 1{,}3843\times10^{15}\times2{,}0\times10^{-15}=2{,}7686,
2\kappa a = 5{,}5372.

Passo 6

Usar a aproximação exponencial para a probabilidade:
T \approx e^{-2\kappa a}=e^{-5{,}5372}.
Calculando a exponencial:
T \approx 3{,}94\times10^{-3}\quad\text{(isto é, aproximadamente }0{,}394\%\text{)}.é
Comentário sobre validade: aqui \kappa a\approx2{,}77, não enorme, então a aproximação exponencial fornece a ordem de grandeza. Para checar rapidamente com a expressão exata da barreira retangular, preciso das energias em joules também para \;V_0 e E:
V_0=30{,}0\\ \mathrm{MeV}=4{,}806529902\times10^{-12}\\ \mathrm{J},
E=V_0-(V_0-E)=4{,}80653\times10^{-12}-1{,}602176634\times10^{-12}=3{,}204353268\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
Avaliar a fórmula exata
T=\left[1+\frac{V_0^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}
com \operatorname{sinh}(\kappa a)\approx7{,}93 (porque \kappa a=2{,}7686) dá
T\approx1{,}39\times10^{-2}\quad\text{(aprox. }1{,}39\%\text{)}.
Ou seja, a fórmula exata dá T de ordem 10^{-2}, enquanto a estimativa exponencial deu 3{,}94\times10^{-3}; ambas são da mesma ordem de grandeza (alguns fatores de 2–4 de diferença) — a aproximação exponencial subestima um pouco neste caso porque \kappa a não é muito grande.

Resposta

T \approx 3{,}94\times10^{-3} (estimativa exponencial) \approx 1{,}39\times10^{-2} (valor pela fórmula exata para barreira quadrada)

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