Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa (
) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a
e largura de
.
(b) Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
abaixo do topo da barreira?
(b) Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de tunelamento de uma partícula alfa presa por uma barreira quadrada. Dados do enunciado que vamos usar (todos obrigatórios):
- massa da partícula alfa:
. - altura da barreira:
. - largura da barreira:
. - a energia cinética da partícula está
abaixo do topo da barreira, ou seja .
Pergunta concreta: qual é a probabilidade de tunelamento (coeficiente de transmissão) com esses dados?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e intuitiva):
Quando uma partícula com energia tenta atravessar uma barreira de potencial com altura
, a função de onda no interior da barreira decai exponencialmente. A constante de decaimento (número de onda imaginário) é
Quando uma partícula com energia
onde:
-
é a massa da partícula (em kg), -
é a diferença de energia entre a barreira e a partícula (em joules), -
é a constante de Planck reduzida, .
Para uma barreira quadrada de largura
e se
não for muito pequeno, uma boa estimativa simples para a probabilidade de tunelamento é a forma exponencial
Explicação intuitiva: a onda decai como
dentro da barreira; atravessar largura
produz uma atenuação
na amplitude, e a probabilidade é proporcional ao quadrado da amplitude, daí
.
Observação prática: existe uma expressão exata (obtida por casar soluções em cada região) para o coeficiente de transmissão de uma barreira retangular quando
:
Essa expressão inclui efeitos de reflexão múltipla dentro da barreira; a aproximação exponencial é frequentemente usada para estimativas rápidas e costuma dar a ordem de grandeza correta. Vou calcular primeiro pela forma exponencial (mais simples) e depois comparar rapidamente com a expressão exata para conferir a validade.
Passo 3
Converter energias de
para joules (para usar no
com unidades SI). Constante:
Portanto
Calculemos:
Passo 4
Calcular
passo a passo usando
Substituindo os valores (todos em SI):
Multiplicando:
Agora a raiz quadrada:
Dividindo por
:
Passo 5
Calcular
e
:
Passo 6
Usar a aproximação exponencial para a probabilidade:
Calculando a exponencial:
Comentário sobre validade: aqui
, não enorme, então a aproximação exponencial fornece a ordem de grandeza. Para checar rapidamente com a expressão exata da barreira retangular, preciso das energias em joules também para
e
:
Avaliar a fórmula exata
com
(porque
) dá
Ou seja, a fórmula exata dá
de ordem
, enquanto a estimativa exponencial deu
; ambas são da mesma ordem de grandeza (alguns fatores de 2–4 de diferença) — a aproximação exponencial subestima um pouco neste caso porque
não é muito grande.