A força
, com x em metros, age sobre uma particula deslocando-a apenas em uma dimensão.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca do repouso para a posicao 1.0 m ?
(b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca da posicao 1.0 m para o repouso?
(c) Essa força é conservativa, sim ou não? Justifique.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca do repouso para a posicao 1.0 m ?
(b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca da posicao 1.0 m para o repouso?
(c) Essa força é conservativa, sim ou não? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a força que age sobre a partícula, em função da posição
(em metros):
As perguntas são:
(a) Qual o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de repouso até a posição ? (Entendo aqui que “do repouso” significa que a posição inicial é
.)
(b) Qual o trabalho realizado quando a partícula vai de de volta ao repouso (ou seja, retorna a
)?
(c) A força é conservativa? Justifique.
(a) Qual o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de repouso até a posição
(b) Qual o trabalho realizado quando a partícula vai de
(c) A força é conservativa? Justifique.
Informações relevantes listadas:
- Função da força:
. - Movimentos unidimensionais entre
e . - Pedido de cálculo de trabalho (parte numérica) e de verificação de conservatividade (parte conceitual).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): em uma dimensão, o trabalho realizado por uma força
quando a partícula se desloca de
até
é dado pela integral de linha (a soma contínua de
):
Explicando devagar: imagine dividir o trajeto em pequenos trechos
. Em cada trecho o trabalho aproximado é
. Somando e fazendo o limite
chega-se à integral. Assim, para responder (a) e (b) basta calcular integrais definidas de
.
Passo 3
Cálculo da primitiva (antiderivada) de
— regra do poder:
Regra usada: para ,
Regra usada: para
Aplicando termo a termo em
:
Portanto uma primitiva (função
cuja derivada é
) é
Vou usar essa primitiva para avaliar as integrais definidas.
Passo 4
Parte (a): trabalho de
até
.
Usamos
Usamos
Avalia passo a passo:
- Em
: - Em
:
Subtraindo:
Interpretação física curta: o trabalho negativo indica que, ao deslocar-se de
para
, a força faz trabalho que retira energia da partícula (por exemplo, atua contrariamente ao deslocamento naquele intervalo).
Passo 5
Parte (b): trabalho de
até
.
Propriedade prática das integrais definidas: trocar os limites troca o sinal. Logo
Propriedade prática das integrais definidas: trocar os limites troca o sinal. Logo
Como já calculamos
, obtemos
Também podemos ver que o trabalho total do caminho fechado
é
.
Passo 6
Parte (c): conservatividade da força — definição e verificação.
Definição prática: uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos depende somente dos pontos extremos (não do caminho), ou equivalentemente se existe uma energia potencial tal que
Definição prática: uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos depende somente dos pontos extremos (não do caminho), ou equivalentemente se existe uma energia potencial
Para verificar, podemos procurar
integrando
:
Integramos:
Derivando
e aplicando o sinal negativo:
que é exatamente
dada no enunciado. Portanto existe uma função potencial
; consequentemente a força é conservativa.
Outra verificação simples: o trabalho em um caminho fechado entre dois pontos (por exemplo
) é zero, como vimos — isso é característico de forças conservativas.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim. A força é conservativa, pois existe tal que
.
(b)
(c) Sim. A força é conservativa, pois existe