A força \mathrm{F}_{\mathrm{x}}=-6 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}(\mathrm{N}), com x em metros, age sobre uma particula deslocando-a apenas em uma dimensão.
(a) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca do repouso para a posicao 1.0 m ?
(b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre a particula quando ela se desloca da posicao 1.0 m para o repouso?
(c) Essa força é conservativa, sim ou não? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a força que age sobre a partícula, em função da posição x (em metros):
F_x(x) = -6\,x^{2} + 3\,x \quad(\mathrm{N}).
As perguntas são:
(a) Qual o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de repouso até a posição x=1{,}0\\ \mathrm{m}? (Entendo aqui que “do repouso” significa que a posição inicial é x=0.)
(b) Qual o trabalho realizado quando a partícula vai de x=1{,}0\\ \mathrm{m} de volta ao repouso (ou seja, retorna a x=0)?
(c) A força é conservativa? Justifique.
Informações relevantes listadas:
  • Função da força: F_x(x) = -6x^{2} + 3x.
  • Movimentos unidimensionais entre x=0 e x=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Pedido de cálculo de trabalho (parte numérica) e de verificação de conservatividade (parte conceitual).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): em uma dimensão, o trabalho realizado por uma força F_x(x) quando a partícula se desloca de x=a até x=b é dado pela integral de linha (a soma contínua de F_x\,\mathrm{d}x):
W_{a\to b}=\int_{a}^{b} F_x(x)\,\mathrm{d}x.
Explicando devagar: imagine dividir o trajeto em pequenos trechos \Delta x. Em cada trecho o trabalho aproximado é F_x(x)\,\Delta x. Somando e fazendo o limite \Delta x\to0 chega-se à integral. Assim, para responder (a) e (b) basta calcular integrais definidas de F_x(x).

Passo 3

Cálculo da primitiva (antiderivada) de F_x(x) — regra do poder:
Regra usada: para n\neq -1,
\int x^{n}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando termo a termo em \int(-6x^{2}+3x)\,\mathrm{d}x:
  • \displaystyle \int -6x^{2}\,\mathrm{d}x = -6\cdot\frac{x^{3}}{3} = -2x^{3}.
  • \displaystyle \int 3x\,\mathrm{d}x = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}x^{2}.
Portanto uma primitiva (função W(x) cuja derivada é F_x(x)) é
W_{\text{pr}}(x) = -2x^{3} + \frac{3}{2}x^{2}.
Vou usar essa primitiva para avaliar as integrais definidas.

Passo 4

Parte (a): trabalho de x=0 até x=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Usamos
W_{0\to1} = \left[ -2x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} \right]_{0}^{1}.
Avalia passo a passo:
  • Em x=1: -2(1)^{3} + \tfrac{3}{2}(1)^{2} = -2 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • Em x=0: -2(0)^{3} + \tfrac{3}{2}(0)^{2} = 0.
Subtraindo:
W_{0\to1} = -\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: o trabalho negativo indica que, ao deslocar-se de 0 para 1{,}0\\ \mathrm{m}, a força faz trabalho que retira energia da partícula (por exemplo, atua contrariamente ao deslocamento naquele intervalo).

Passo 5

Parte (b): trabalho de x=1{,}0 até x=0.
Propriedade prática das integrais definidas: trocar os limites troca o sinal. Logo
W_{1\to0} = -W_{0\to1}.
Como já calculamos W_{0\to1} = -\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{J}, obtemos
W_{1\to0} = +\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{J}.
Também podemos ver que o trabalho total do caminho fechado 0\to1\to0 é W_{0\to1}+W_{1\to0}=0.

Passo 6

Parte (c): conservatividade da força — definição e verificação.
Definição prática: uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza entre dois pontos depende somente dos pontos extremos (não do caminho), ou equivalentemente se existe uma energia potencial U(x) tal que
F_x(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Para verificar, podemos procurar U(x) integrando -F_x(x):
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -F_x(x) = 6x^{2} - 3x.
Integramos:
U(x) = \int (6x^{2}-3x)\,\mathrm{d}x = 6\cdot\frac{x^{3}}{3} - 3\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = 2x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} + C.
Derivando U(x) e aplicando o sinal negativo:
-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -\left(6x^{2}-3x\right) = -6x^{2}+3x,
que é exatamente F_x(x) dada no enunciado. Portanto existe uma função potencial U(x); consequentemente a força é conservativa.
Outra verificação simples: o trabalho em um caminho fechado entre dois pontos (por exemplo 0\to1\to0) é zero, como vimos — isso é característico de forças conservativas.

Resposta

(a) W_{0\to1}=-\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{J}
(b) W_{1\to0}=+\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{J}
(c) Sim. A força é conservativa, pois existe U(x)=2x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}+C tal que F_x=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}x.

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