Q10) Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa (
) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a
e largura de
.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
abaixo do topo da barreira?
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de tunelamento de uma partícula alfa presa numa barreira quadrada. As informações dadas são:
A energia cinética da partícula está
abaixo do topo da barreira, ou seja:
A pergunta é: qual é a probabilidade de tunelamento
para essas condições?
Passo 2
Entendendo o fenômeno e o método que vamos usar (aula rápida e prática)
Quando uma partícula quântica com energia menor que a altura
encontra uma barreira de largura
, a função de onda dentro da barreira decai exponencialmente. Para uma barreira relativamente “opaca” (quando a exponencial domina), a transmissão (probabilidade de tunelamento) é bem aproximada por
Quando uma partícula quântica com energia
onde
é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
Explicando as quantidades nessa fórmula:
-
é a massa da partícula (aqui a alfa); -
é a diferença entre a altura da barreira e a energia da partícula (a energia “faltante” para ultrapassar a barreira); -
é a constante de Planck reduzida, .
Essa aproximaçãovem do fato de que dentro da barreira a função de onda decai como , e para atravessar a barreira de largura a amplitude é reduzida por , então a probabilidade (módulo ao quadrado) vai como . Em muitos problemas de física nuclear essa aproximação é suficiente porque o fator exponencial domina.
Passo 3
Converter unidades para o SI (essencial)
Devemos colocar em joules e
em metros.
Devemos colocar
Anotando a constante de Planck reduzida:
Passo 4
Calcular
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo os valores (vou mostrar as contas):
Agora dividimos por
:
Passo 5
Calcular o expoente
e a probabilidade
Calculemos primeiro :
Calculemos primeiro
Então
Aplicando a aproximação exponencial:
Passo 6
Interpretação rápida e moral da história
Isso significa que a probabilidade de tunelamento é da ordem de alguns 10^{-3}, ou seja cerca de . Em problemas de decaimento alfa na física nuclear esse tipo de número explica por que certos núcleos têm vidas médias longas: mesmo quando a barreira é relativamente estreita, a exponencial pode tornar a probabilidade bem baixa. Lembre-se: a parte exponencial é a mais importante — pequenas mudanças em
ou em
mudam
dramaticamente.
Isso significa que a probabilidade de tunelamento é da ordem de alguns 10^{-3}, ou seja cerca de