Q10) Em um modelo simples de núcleo radioativo, uma partícula alfa ( \mathrm{m}=6,64 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} ) está presa em uma barreira quadrada com altura igual a 30,0 \mathrm{MeV} e largura de 2,0 \mathrm{fm}.
Qual é a probabilidade de tunelamento se a energia cinética da partícula alfa está 10,0 \mathrm{MeV} abaixo do topo da barreira?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de tunelamento de uma partícula alfa presa numa barreira quadrada. As informações dadas são:
\text{massa: } m = 6,64\times10^{-27}\,\text{kg}
\text{altura da barreira: } V_0 = 30{,}0\,\text{MeV}
\text{largura da barreira: } L = 2{,}0\,\text{fm}
A energia cinética da partícula está 10{,}0\,\text{MeV} abaixo do topo da barreira, ou seja:
V_0 - E = 10{,}0\,\text{MeV}.
A pergunta é: qual é a probabilidade de tunelamento T para essas condições?

Passo 2

Entendendo o fenômeno e o método que vamos usar (aula rápida e prática)
Quando uma partícula quântica com energia E menor que a altura V_0 encontra uma barreira de largura L, a função de onda dentro da barreira decai exponencialmente. Para uma barreira relativamente “opaca” (quando a exponencial domina), a transmissão (probabilidade de tunelamento) é bem aproximada por
T \approx e^{-2\kappa L},
onde \kappa é o número de onda imaginário dentro da barreira, dado por
\kappa = \frac{\sqrt{2m\,(V_0 - E)}}{\hbar}.
Explicando as quantidades nessa fórmula:
  • m é a massa da partícula (aqui a alfa);
  • V_0 - E é a diferença entre a altura da barreira e a energia da partícula (a energia “faltante” para ultrapassar a barreira);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}.
    Essa aproximação T\approx e^{-2\kappa L} vem do fato de que dentro da barreira a função de onda decai como e^{-\kappa x}, e para atravessar a barreira de largura L a amplitude é reduzida por e^{-\kappa L}, então a probabilidade (módulo ao quadrado) vai como e^{-2\kappa L}. Em muitos problemas de física nuclear essa aproximação é suficiente porque o fator exponencial domina.

Passo 3

Converter unidades para o SI (essencial)
Devemos colocar V_0 - E em joules e L em metros.
V_0 - E = 10{,}0\,\text{MeV} = 10{,}0\times(1{,}602176634\times10^{-13})\,\text{J} = 1{,}602176634\times10^{-12}\,\text{J}.
L = 2{,}0\,\text{fm} = 2{,}0\times10^{-15}\,\text{m} = 2{,}0\times10^{-15}\,\text{m}.
Anotando a constante de Planck reduzida:
\hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}.

Passo 4

Calcular \kappa
Usamos a fórmula
\kappa = \frac{\sqrt{2m\,(V_0 - E)}}{\hbar}.
Substituindo os valores (vou mostrar as contas):
2m\,(V_0 - E) = 2\times(6{,}64\times10^{-27})\times(1{,}602176634\times10^{-12})
= 1{,}328\times10^{-26}\times1{,}602176634\times10^{-12} = 2{,}127697\ldots\times10^{-38}.
\sqrt{2m\,(V_0 - E)} = \sqrt{2{,}127697\times10^{-38}} = 1{,}45954\ldots\times10^{-19}.
Agora dividimos por \hbar:
\kappa = \frac{1{,}45954\times10^{-19}}{1{,}054571817\times10^{-34}} \approx 1{,}3840\times10^{15}\,\text{m}^{-1}.

Passo 5

Calcular o expoente 2\kappa L e a probabilidade T
Calculemos primeiro \kappa L:
\kappa L = (1{,}3840\times10^{15})\times(2{,}0\times10^{-15}) = 2{,}7680.
Então
2\kappa L = 2\times2{,}7680 = 5{,}5360.
Aplicando a aproximação exponencial:
T \approx e^{-2\kappa L} = e^{-5{,}5360}\approx 3{,}94\times10^{-3}.

Passo 6

Interpretação rápida e moral da história
Isso significa que a probabilidade de tunelamento é da ordem de alguns 10^{-3}, ou seja cerca de 0{,}4\%. Em problemas de decaimento alfa na física nuclear esse tipo de número explica por que certos núcleos têm vidas médias longas: mesmo quando a barreira é relativamente estreita, a exponencial pode tornar a probabilidade bem baixa. Lembre-se: a parte exponencial é a mais importante — pequenas mudanças em \kappa ou em L mudam T dramaticamente.

Resposta

T \approx 3{,}94\times10^{-3} (aprox. 0{,}394\%)

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