Q2) Considere uma partícula microscópica de massa
confinada em um poço unidimensional de largura
. Dentro do poço (
), o potencial é nulo e fora do poço é infinito. (a) Obtenha as expressões da energia e das funções de onda normalizada para um estado
qualquer partindo da equação de Schrödinger. (b) Como modificam as funções de onda se o poço for deslocado de meia largura
? (c) Os valores de energia alteram?
Passo 1
O enunciado dá um poço de potencial unidimensional infinito com largura [a). Dentro do poço o potencial é nulo e fora é infinito. Perguntas a responder:
(a) Obter as expressões da energia e das funções de onda normalizada para um estado qualquer partindo da equação de Schrödinger.
(b) Como as funções de onda mudam se o poço for deslocado para o intervalo ?
(c) Os valores de energia mudam com esse deslocamento?
(a) Obter as expressões da energia e das funções de onda normalizada para um estado qualquer
(b) Como as funções de onda mudam se o poço for deslocado para o intervalo
(c) Os valores de energia mudam com esse deslocamento?
Informações relevantes fornecidas:
Massa da partícula:
e as energias
para
inteiro positivo, e então a situação com o poço centrado em
.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger dependente do tempo separada (equação estacionária) dentro do poço, onde
. A equação é
Aqui
é a função de onda espacial,
é a energia (autovalor) e
é a constante de Planck reduzida. Reorganizando, obtemos uma equação diferencial simples:
onde definimos
Essa é a equação de uma oscilação harmônica com solução geral combinando seno e cosseno.
Passo 3
Escrevendo a solução geral da equação diferencial:
com constantes
e
. Agora aplicamos as condições de contorno impostas pelo potencial infinito: a função de onda deve ser zero nas paredes. Para o poço inicial isso significa
Da condição
obtemos
Logo a solução fica
.
Passo 4
Aplicando a segunda condição de contorno
:
Queremos solução não-trivial (
), portanto exigimos
Assim os valores permitidos de
são
Substituindo na definição de
, obtemos os níveis de energia quantizados:
Explicação física curta: as condições de contorno quantizam
e, portanto, a energia; só estão permitidos modos estacionários com comprimento de onda que “encaixem” no poço.
Passo 5
Normalização da função de onda. Temos a forma não-normalizada
. A constante
é encontrada impondo a normalização
Calculamos
porque usamos a identidade
e o termo com cosseno integra a zero no período adequado. Assim
Portanto as funções de onda normalizadas para o poço
são
Essas funções são ortonormais:
.
Passo 6
Resumo prático (parte a concluída): Para o poço entre
e
,
Aqui
é o número quântico positivo que enumera os estados.
Passo 7
Agora (b): poço deslocado para
. Repetimos o procedimento: dentro do poço
e a equação é a mesma,
com condições de contorno agora
e
. A solução geral continua sendo
. Uma maneira prática é efetuar a mudança de variável de coordenada para alinhar com a solução anterior: defina
. Então quando
temos
e quando
temos
. Em termos de
a equação e as condições voltam a ser as do caso anterior, então a solução normalizada será igual à anterior em
, isto é
Essa forma satisfaz explicitamente
e
.
Passo 8
Forma alternativa usando paridade (explicação didática): usando a identidade
vemos que para
ímpar a função fica proporcional a
(um estado de paridade par) e para
par fica proporcional a
(paridade ímpar), ambos definidos no intervalo centralizado. Mas a expressão com o deslocamento dentro do seno é a forma mais direta e geral.
Passo 9
Parte (c): os valores de energia. Usando a condição
obtida depois da mudança de variável, obtemos exatamente os mesmos valores de
que antes:
portanto as energias são as mesmas:
Explicação física: deslocar o poço no espaço não altera a largura nem a forma do potencial (apenas sua posição), e a equação de Schrödinger com condições de contorno depende apenas da separação entre as paredes — assim as energias permanecem inalteradas. Matematicamente, a equação é invariante por translação do referencial (a derivada segunda não muda), logo os autovalores não mudam.
Resposta
(a)
(b) (equivalente a combinações de cosseno/seno com paridade)
(c) (os valores de energia não mudam)
(b)
(c)