Questão 5) Um plano infinito colocado em y=0 (ou seja, o plano está no eixos x e z ) tem densidade superficial de carga \sigma>0 constante. Não há cargas fora do plano. Considere y_{0} um número positivo e ainda que V\left(y_{0}\right)=0. (a) Calcule o potencial elétrico em uma distância genérica y>0. (b) Qual o sinal do potencial em y>y_{0} e 0<y<y_{0} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Há um plano infinito no plano y=0 (ou seja, ocupa os eixos x e z).
  • A densidade superficial de carga do plano é \sigma>0 (constante).
  • Não há outras cargas fora do plano.
  • Foi fixada a referência de potencial: V\left(y_{0}\right)=0 para um dado y_{0}>0.
Perguntas:
(a) Calcular o potencial elétrico V(y) para uma distância genérica y>0.
(b) Determinar o sinal de V em y>y_{0} e em 0<y<y_{0}.

Passo 2

Ideia-chave e relação entre campo e potencial (aula rápida e prática). O potencial elétrico e o campo elétrico estão ligados por
\mathbf{E}=-\nabla V.
Como a situação é simétrica em x e z e só varia com y, o campo tem apenas componente na direção y. Denotando essa componente por E_{y}(y), vale a versão unidimensional
E_{y}(y)=-\frac{dV}{dy}.
Isto significa que, se soubermos E_{y} (que será constante por simetria), podemos integrar para achar V(y). Vou agora achar E_{y} usando a Lei de Gauss.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico usando Gauss (passo-a-passo didático).
  • Escolhe-se uma superfície de Gauss em forma de “pilon” ou caixa cilíndrica que cruza o plano: uma face plana acima do plano em y=+a e outra simétrica em y=-a, com área A. Como o plano é infinito, por simetria o campo é perpendicular ao plano e constante sobre cada face.
  • A Lei de Gauss integral diz:
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
  • A contribuição das faces laterais é nula porque o campo é perpendicular a essas superfícies. As contribuições são das duas faces planas: uma em y=+a com fluxo E_{y}(+a)\,A e outra em y=-a com fluxo (-E_{y}(-a))\,A (sinais conforme orientação do vetor área). Por simetria E_{y}(+a) tem mesma magnitude que E_{y}(-a), apenas sentidos opostos.
  • A carga interna ao volume é a carga do plano que intercepta a área A: Q_{\text{int}}=\sigma A.
  • Somando fluxos e aplicando Gauss obtém-se
E_{y}(+a)A - E_{y}(-a)A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}.
Pela simetria E_{y}(+a)=E (no sentido positivo +\hat{y}) e E_{y}(-a)=-E (no sentido -\hat{y}), então
E A - (-E)A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad 2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}.
  • Daí obtemos a magnitude constante do campo e sua direção: para y>0
E_{y}(y)=E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\quad\text{no sentido }+\hat{y}.
(Observação: o campo é constante em cada lado do plano, com sentido apontando para fora do plano porque \sigma>0.)

Passo 4

Integração para obter o potencial V(y) (passo-a-passo e explicando sinais).
  • Usamos a relação unidimensional E_{y}=-\dfrac{dV}{dy}. Como para y>0 temos E_{y}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (constante), então
-\frac{dV}{dy}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • Integrando entre y_{0} (onde V(y_{0})=0 é dado) e um y>0:
\int_{y_{0}}^{y} -\frac{dV}{dy}\,dy=\int_{y_{0}}^{y}\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,dy.
O lado esquerdo é -\bigl[V(y)-V(y_{0})\bigr]. Assim
- \bigl[V(y)-V(y_{0})\bigr] = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(y-y_{0}).
  • Como V(y_{0})=0, isso simplifica para
- V(y) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(y-y_{0}),
portanto
\boxed{\,V(y) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,(y-y_{0}),\qquad y>0.\,}
Breve comentário físico: o potencial é uma função afim (reta) em y para y>0 porque o campo é constante. O potencial é contínuo atravessando o plano (a menos de uma constante fixa pela referência), mesmo que o campo tenha salto.

Passo 5

Determinação do sinal de V em relação a y_{0} (explicação simples e exemplos numéricos mentais para fixar).
  • A expressão encontrada é V(y)=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(y-y_{0}). Como \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}>0, o sinal de V(y) é oposto ao sinal de (y-y_{0}).
  • Se y>y_{0} então (y-y_{0})>0 e portanto V(y)<0. Ou seja, para y>y_{0} o potencial é negativo.
  • Se 0<y<y_{0} então (y-y_{0})<0 e portanto V(y)>0. Ou seja, para 0<y<y_{0} o potencial é positivo.
  • Como exemplo rápido: o valor no plano y=0 é
V(0)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}(0-y_{0})=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}y_{0}>0,
confirmando que entre 0 e y_{0} o potencial é positivo.

Resposta

(a) V(y)=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,(y-y_{0}) para y>0.
(b) Para y>y_{0}: V(y)<0.\nPara 0<y<y_{0}: V(y)>0.

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