Questão 5) Um plano infinito colocado em
(ou seja, o plano está no eixos
e
) tem densidade superficial de carga
constante. Não há cargas fora do plano. Considere
um número positivo e ainda que
. (a) Calcule o potencial elétrico em uma distância genérica
. (b) Qual o sinal do potencial em
e
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Há um plano infinito no plano
(ou seja, ocupa os eixos e ). - A densidade superficial de carga do plano é
(constante). - Não há outras cargas fora do plano.
- Foi fixada a referência de potencial:
para um dado .
Perguntas:
(a) Calcular o potencial elétrico para uma distância genérica
.
(b) Determinar o sinal de em
e em
.
(a) Calcular o potencial elétrico
(b) Determinar o sinal de
Passo 2
Ideia-chave e relação entre campo e potencial (aula rápida e prática). O potencial elétrico e o campo elétrico estão ligados por
Como a situação é simétrica em
e
e só varia com
, o campo tem apenas componente na direção
. Denotando essa componente por
, vale a versão unidimensional
Isto significa que, se soubermos
(que será constante por simetria), podemos integrar para achar
. Vou agora achar
usando a Lei de Gauss.
Passo 3
Cálculo do campo elétrico usando Gauss (passo-a-passo didático).
- Escolhe-se uma superfície de Gauss em forma de “pilon” ou caixa cilíndrica que cruza o plano: uma face plana acima do plano em
e outra simétrica em , com área . Como o plano é infinito, por simetria o campo é perpendicular ao plano e constante sobre cada face. - A Lei de Gauss integral diz:
- A contribuição das faces laterais é nula porque o campo é perpendicular a essas superfícies. As contribuições são das duas faces planas: uma em
com fluxo e outra em com fluxo (sinais conforme orientação do vetor área). Por simetria tem mesma magnitude que , apenas sentidos opostos. - A carga interna ao volume é a carga do plano que intercepta a área
: . - Somando fluxos e aplicando Gauss obtém-se
Pela simetria
(no sentido positivo
) e
(no sentido
), então
- Daí obtemos a magnitude constante do campo e sua direção: para
(Observação: o campo é constante em cada lado do plano, com sentido apontando para fora do plano porque
.)
Passo 4
Integração para obter o potencial
(passo-a-passo e explicando sinais).
- Usamos a relação unidimensional
. Como para temos (constante), então
- Integrando entre
(onde é dado) e um :
O lado esquerdo é
. Assim
- Como
, isso simplifica para
portanto
Breve comentário físico: o potencial é uma função afim (reta) em
para
porque o campo é constante. O potencial é contínuo atravessando o plano (a menos de uma constante fixa pela referência), mesmo que o campo tenha salto.
Passo 5
Determinação do sinal de
em relação a
(explicação simples e exemplos numéricos mentais para fixar).
- A expressão encontrada é
. Como , o sinal de é oposto ao sinal de . - Se
então e portanto . Ou seja, para o potencial é negativo. - Se
então e portanto . Ou seja, para o potencial é positivo. - Como exemplo rápido: o valor no plano
é
confirmando que entre
e
o potencial é positivo.
Resposta
(a)
para
.
(b) Para
:
.\nPara
:
.