Um modelo teórico para o comprimento C ( e m cm ) de fósseis de certa regiáo foi estabelecido por arquéblogos. Sabe-se que C é uma variável aleatória contínua com a função densidade de probabilidade f(c) dada abaixo:
f(c)=ll 140(c10+1) 0, & caso contrário á
Pergunta-se: qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso, nessa região, apresentar comprimento inferior a 16 , sendo que é superior a 7 cm ? Apresente sua resposta com quatro casas decimais.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um modelo que descreve o comprimento $ C $ de fósseis em uma certa região, e a função densidade de probabilidade é dada por:
C á
Queremos encontrar a probabilidade de um fóssil ter comprimento inferior a 16 cm, dado que ele é superior a 7 cm. Isso envolve o conceito de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional $ P(A|B) $ é dada por:
P(A|B)
No nosso caso, $ A $ é o evento “comprimento inferior a 16 cm” e $ B $ é “comprimento superior a 7 cm”. Então, precisamos calcular $ P(7 < C < 16) $ e $ P(C > 7) $.

Passo 3

Vamos calcular $ P(C < 16) $:
P(C < 16)
Integrando:
P(C < 16) = integral0^16 f(c) , dc = integral0^16 140(c10 + 1) , dc

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(C < 7) $ para depois achar $ P(C > 7) $:
P(C < 7)
Integrando:
P(C > 7)
Logo, $ P(C > 7) = 1 - P(C < 7) = 1 - 0.23625 = 0.76375 $.

Passo 5

Agora, calculamos $ P(7 < C < 16) $:
P(7 < C < 16)

Passo 6

Finalmente, a probabilidade condicional é:
P(C < 16 | C > 7) = P(7 < C < 16)P(C > 7) = 0.483750.76375 approx 0.6342

Resposta

0.6342

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