Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.
Com base nas informações, qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?
A) 6
B) 8
C) 14
D) 24

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu?” — isto é, precisamos descobrir o número total de faces do poliedro P obtido cortando (truncando) cada um dos cantos de um cubo. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O sólido inicial é um cubo, que tem 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
  • Em cada um dos 8 cantos (vértices) do cubo é feito um corte plano que retira um tetraedro pequeno (arestas do tetraedro menores que metade da aresta do cubo).
  • Cada corte plano numa esquina gera uma nova face no sólido resultante.
  • Cada face do poliedro P será pintada com uma cor distinta, portanto o número de cores é igual ao número de faces de P.

Passo 2

Entender o que um corte plano num vértice faz geometricamente. Num vértice do cubo se encontram exatamente três faces (as três faces que se encontram naquele canto) e três arestas. Quando aplicamos um plano que corta somente aquele canto (tira um pequeno tetraedro), esse plano intersecta as três faces que se encontravam no vértice, e essas interseções formam uma região triangular. Logo, cada truncamento de um vértice do cubo introduz exatamente uma nova face triangular no poliedro resultante. Isso ocorre porque cortar uma junção de três planos por um plano extra gera um triângulo de interseção.

Passo 3

Contar quantas novas faces triangulares aparecem. Como o cubo tem 8 vértices e fazemos um corte em cada vértice, teremos exatamente 8 novas faces triangulares. Portanto já contabilizamos \,8 faces do poliedro P provenientes dos cortes.

Passo 4

Analisar o que acontece com as faces originais do cubo. Cada face original do cubo é um quadrado com 4 vértices. Em cada um desses vértices foi feito um truncamento, ou seja, em cada quadrado quatro cantos foram cortados. Cada canto cortado substitui um vértice por uma pequena aresta nova no contorno da face original. Assim, cada face quadrada original passa a ter 4 arestas originais encurtadas mais 4 arestas novas criadas pelos cortes nos cantos, totalizando 8 arestas no contorno daquela face transformada — ou seja, cada face quadrada se transforma em um octógono (polígono de 8 lados). Como havia 6 faces no cubo, permanecem 6 faces (agora octógonos) no poliedro P.

Passo 5

Somar as faces resultantes: as 6 faces originais transformadas em octógonos mais as 8 novas faces triangulares dão o total de faces do poliedro P:
F = 6 + 8 = 14.

Passo 6

Checagem rápida pela fórmula de Euler (só para confirmar): para um poliedro convexo vale
V - E + F = 2,
onde V é número de vértices, E número de arestas e F número de faces. No poliedro truncado aqui (o “cubo truncado”) cada uma das 8 faces triangulares tem 3 vértices distintos (os vértices de triângulos não se repetem entre triângulos), portanto há 8\cdot 3 = 24 vértices no total: V=24. Cada vértice é incidido por 3 arestas, então 2E = 3V e portanto E = \dfrac{3\cdot 24}{2} = 36. Aplicando Euler:
24 - 36 + 14 = 2,
confirma que F=14 está coerente.

Resposta

C) 14

Exercícios relacionados