Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a
cada, que ficarão totalmente submersas no aquário.
Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário.
O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a
A) 48 .
B) 72 .
C) 84 .
D) 120 .
Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário.
A) 48 .
B) 72 .
C) 84 .
D) 120 .
Passo 1
Entender bem o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
O aquário é um paralelepípedo retângulo reto. Foi colocada água equivalente a metade da capacidade do aquário. As pedrinhas têm volume igual a
cada e ficarão totalmente submersas. Depois de colocadas as pedrinhas, o nível da água deverá ficar a
do topo do aquário.
O que o problema pergunta: quantas pedrinhas devem ser colocadas?
O que o problema pergunta: quantas pedrinhas devem ser colocadas?
Passo 2
Relembrar a fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo reto e a relação entre volume de líquido e altura: o volume total do aquário é dado por
onde
é o comprimento,
a largura e
a altura — todos em cm — e o volume fica em
. Como a base é retangular e constante, o volume de água corresponde à área da base multiplicada pela altura da coluna de água:
onde
e
é a altura da água.
Passo 3
Calcular a área da base do aquário:
Explicação rápida: a área da base é só comprimento vezes largura; isso nos diz quanto “espaço” por camada de
de altura existe no aquário.
Passo 4
Calcular o volume total do aquário e a metade desse volume (pois inicialmente a água ocupa metade da capacidade):
Metade da capacidade (volume inicial de água):
Passo 5
Determinar a altura inicial da água a partir do volume inicial usando
:
Interpretação: com metade do volume, a coluna de água ocupa
de altura (metade da altura total, como era de esperar porque a base tem área constante).
Passo 6
Calcular a altura final da água pedida pelo enunciado: o nível deve ficar a
do topo, então a água preencherá
Assim, o volume final de água no aquário será
Passo 7
Encontrar o aumento de volume de água causado pelas pedrinhas: como as pedrinhas ficam totalmente submersas, o volume de água deslocado é igual ao volume total das pedrinhas (princípio do deslocamento de volume). O aumento de volume é
Passo 8
Calcular o número de pedrinhas necessárias: cada pedrinha tem volume
então o número
satisfaz
Logo
Passo 9
Fazer a divisão com calma:
Melhor calcular direto:
. Portanto
(Comentário amigo: se você tentou aquela divisão e errou por descuido, tudo bem — revisar passo a passo evita esse tipo de erro.)
Resposta
A) 48.