Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d’água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma.
Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é
A) oito vezes maior.
B) quatro vezes maior.
C) duas vezes maior.
D) a metade.
E) a quarta parte.
A) oito vezes maior.
B) quatro vezes maior.
C) duas vezes maior.
D) a metade.
E) a quarta parte.
Passo 1
O enunciado pede para comparar o volume do novo modelo com o volume do modelo antigo. Informações dadas: o antigo modelo é um prisma reto com base quadrada; no novo modelo as medidas das arestas da base foram duplicadas (ou seja, cada aresta da base foi multiplicada por
); a altura permaneceu inalterada; a forma (prisma reto com base quadrada) foi mantida. A pergunta implícita é: o volume do novo modelo é quantas vezes maior (ou menor) que o volume do antigo?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do volume de um prisma reto. A fórmula é
onde
é o volume,
é a área da base e
é a altura do prisma. Explico: o prisma tem a mesma seção ao longo da altura, então o volume é simplesmente a área da base multiplicada pela altura — pense em empilhar fatias da mesma área.
Passo 3
Agora, escrevemos a área da base no caso de uma base quadrada. Se a aresta do quadrado vale
, então a área da base é
Aqui
é o comprimento de um lado do quadrado e
significa
vezes
.
Passo 4
Combinando os passos anteriores, o volume do modelo antigo (chamo de
) é
Expliquei: multiplicamos a área
pela altura
.
Passo 5
No novo modelo, cada aresta da base foi duplicada. Então a nova aresta vale
. A nova área da base (
) é
Vou desenvolver essa potência para ficar claro:
. Isso mostra que duplicar um comprimento faz a área do quadrado crescer por um fator
.
Passo 6
A altura
não mudou, então o volume do novo modelo (
) é
Passo 7
Para saber quantas vezes maior ficou o volume, fazemos a razão entre o novo e o antigo:
Portanto o volume do novo modelo é
vezes o volume do antigo — isto é, quatro vezes maior.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar: se
e
, então
. Com aresta duplicada, nova aresta
,
. E
é
vezes
. Isso confirma o raciocínio.
Resposta
B) quatro vezes maior.