Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
A) 2 \mathrm{~V}-4 \mathrm{~F}=4
B) 2 \mathrm{~V}-2 \mathrm{~F}=4
C) 2 \mathrm{~V}-\mathrm{F}=4
D) 2 \mathrm{~V}+\mathrm{F}=4

Passo 1

O enunciado pede a relação entre o número de vértices e o número de faces de um poliedro de Platão cujas faces são triangulares. Informações dadas e relevantes:
  • O poliedro é convexo e de Platão (todas as faces são congruentes e regulares, cada aresta pertence a exatamente duas faces).
  • O número de vértices é V, o número de arestas é A e o número de faces é F.
  • A relação de Euler válida para todo poliedro convexo está disponível: V - A + F = 2.
  • As faces são triângulos (cada face tem 3 arestas) e cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces.
    Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e os dados que podemos usar.

Passo 2

Contagem das incidências entre faces e arestas (contagem dupla): cada face triangular contribui com 3 incidências “face–aresta”, então o total de incidências vindo das faces é 3F. Mas cada aresta pertence a exatamente duas faces, então cada aresta aparece em duas dessas incidências. Logo o total de incidências também é 2A. Igualando:
3F = 2A.
Isto significa que o número de arestas A pode ser expresso em função de F. Resolver para A:
A = \frac{3F}{2}.
Explicação íntima: estamos apenas contando o mesmo conjunto (pares face, aresta incidindo) de duas maneiras — por faces e por arestas — e por isso obtemos essa relação.

Passo 3

Agora usamos a fórmula de Euler V - A + F = 2 e substituímos a expressão de A encontrada no passo anterior. Substituindo A = \dfrac{3F}{2} em Euler:
V - \frac{3F}{2} + F = 2.
Vamos simplificar o termo com F. Primeiro somamos -\dfrac{3F}{2} com F. Como F = \dfrac{2F}{2}, temos
-\frac{3F}{2} + F = -\frac{3F}{2} + \frac{2F}{2} = -\frac{F}{2}.
Portanto a equação fica
V - \frac{F}{2} = 2.

Passo 4

Eliminamos a fração multiplicando ambos os lados da igualdade por 2:
2\left(V - \frac{F}{2}\right) = 2\cdot 2.
Isso dá
2V - F = 4.
Chegamos à relação desejada entre V e F. Como cheque rápido: tetraedro tem V=4, F=4 e 2\cdot4-4=4; octaedro tem V=6, F=8 e 2\cdot6-8=4 — a relação se mantém.

Resposta

C) 2V - F = 4

Exercícios relacionados