Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado pede a relação entre o número de vértices e o número de faces de um poliedro de Platão cujas faces são triangulares. Informações dadas e relevantes:
- O poliedro é convexo e de Platão (todas as faces são congruentes e regulares, cada aresta pertence a exatamente duas faces).
- O número de vértices é
, o número de arestas é e o número de faces é . - A relação de Euler válida para todo poliedro convexo está disponível:
. - As faces são triângulos (cada face tem 3 arestas) e cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces.
Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e os dados que podemos usar.
Passo 2
Contagem das incidências entre faces e arestas (contagem dupla): cada face triangular contribui com 3 incidências “face–aresta”, então o total de incidências vindo das faces é
. Mas cada aresta pertence a exatamente duas faces, então cada aresta aparece em duas dessas incidências. Logo o total de incidências também é
. Igualando:
Isto significa que o número de arestas
pode ser expresso em função de
. Resolver para
:
Explicação íntima: estamos apenas contando o mesmo conjunto (pares face, aresta incidindo) de duas maneiras — por faces e por arestas — e por isso obtemos essa relação.
Passo 3
Agora usamos a fórmula de Euler
e substituímos a expressão de
encontrada no passo anterior. Substituindo
em Euler:
Vamos simplificar o termo com
. Primeiro somamos
com
. Como
, temos
Portanto a equação fica
Passo 4
Eliminamos a fração multiplicando ambos os lados da igualdade por
:
Isso dá
Chegamos à relação desejada entre
e
. Como cheque rápido: tetraedro tem
,
e
; octaedro tem
,
e
— a relação se mantém.
Resposta
C)