Em um modelo de variação populacional
de uma comunidade, é suposto que
, em que
são as taxas de nascimento e de óbito, respectivamente: Analise os casos:
I.
II.
III.
I.
II.
III.
Passo 1
A questão trata de um modelo de variação populacional em que
, com
taxa de nascimento e
taxa de óbito. Vamos usar equações diferenciais para entender como a população evolui conforme os parâmetros
e
.
Passo 2
Assumimos que a taxa de nascimento é proporcional ao tamanho da população, ou seja
, e a taxa de óbito também é proporcional,
. Substituindo em
temos a equação diferencial homogênea
que é separável e de coeficiente constante.
Passo 3
Para resolver
, separamos variáveis e integramos:
essa integração leva a
logo
onde
é a população inicial.
Passo 4
Analisando a solução:
• Se , o expoente
é positivo e
cresce exponencialmente.
• Se , o expoente é zero e
: população constante.
• Se , o expoente é negativo e
decresce exponencialmente (colapso populacional).
• Se
• Se
• Se
Resposta
I. crescimento populacional (exponencial); II. população constante; III. decrescimento populacional.