Em um modelo de variação populacional P(t) de uma comunidade, é suposto que d Pd t=d Nd t-d Od t, em que d Nd t e d Od t são as taxas de nascimento e de óbito, respectivamente: Analise os casos:
I. k1>k2
II. k1=k2
III. k1

Passo 1

A questão trata de um modelo de variação populacional em que dPdt = dNdt - dOdt, com dNdt taxa de nascimento e dOdt taxa de óbito. Vamos usar equações diferenciais para entender como a população evolui conforme os parâmetros k1 e k2.

Passo 2

Assumimos que a taxa de nascimento é proporcional ao tamanho da população, ou seja dNdt = k1 P, e a taxa de óbito também é proporcional, dOdt = k2 P. Substituindo em dPdt temos a equação diferencial homogênea
dPdt = (k1 - k2),P
que é separável e de coeficiente constante.

Passo 3

Para resolver dPdt = (k1 - k2)P, separamos variáveis e integramos:
integral 1P,dP = integral (k1 - k2),dt
essa integração leva a
ln P = (k1 - k2),t + C
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P(t) = P(0),e^(k1 - k2),t
onde P(0) é a população inicial.

Passo 4

Analisando a solução:
• Se k1 > k2, o expoente (k1 - k2) é positivo e P(t) cresce exponencialmente.
• Se k1 = k2, o expoente é zero e P(t) = P(0): população constante.
• Se k1 < k2, o expoente é negativo e P(t) decresce exponencialmente (colapso populacional).

Resposta

I. crescimento populacional (exponencial); II. população constante; III. decrescimento populacional.

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