O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
d pd t=alpha p^2 / 3-beta p
onde alpha>0 e beta>0 são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
b) Para cada condição inicial p(0)=p0 >= 0 estude o comportamento da solução p(t) quando t infty.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a equação diferencial autônoma do modelo de Von Bertalanffy
dpdt=alpha,p^2/3-beta,p
onde alpha>0 e beta>0. Vamos tratar de encontrar os pontos de equilíbrio e classificar sua estabilidade, depois ver o que acontece com p(t) conforme ttoinfty.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos o termo de crescimento a zero:
alpha,p^2/3-beta,p=0
Podemos fatorar p^2/3:
p^2/3(alpha-beta,p^1/3)=0
Logo as soluções são
p=0 ou p^1/3=alphabeta implies p=l(alphabetar)^3

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos f(p)=alpha p^2/3-beta p e sua derivada
f'(p)=ddp(alpha p^2/3-beta p)=23,alpha,p^-1/3-beta
– Em p=0: o termo 23alpha p^-1/3 tende a +infty, logo f'(0)=+infty. Isso indica que p=0 é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).
– Em p^*= (alpha/beta)^3: substituindo
f'(p^*)=23,alpha,(p^*)^-1/3-beta=23,alpha,betaalpha-beta=23,beta-beta=-13,beta<0
Como a derivada é negativa, p^* é assintoticamente estável (atrator).

Passo 4

Para estudar p(t) quando ttoinfty, olhamos o sinal de f(p):
– Se 0, então f(p)>0 e p(t) cresce até p^*.
– Se p>p^*, então f(p)<0 e p(t) decresce até p^*.
– Se p(0)=0, permanece em zero.
Portanto, para qualquer condição inicial p0>0, a solução tende a p^*=(alpha/beta)^3 conforme ttoinfty.

Resposta

Os equilíbrios são p=0 (instável) e p^*=(alpha/beta)^3 (assintoticamente estável). Para todo p(0)=p0>0, a solução satisfaz limttoinftyp(t)=l(alpha/betar)^3; se p0=0, permanece em zero.

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