O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
b) Para cada condição inicial
estude o comportamento da solução
quando
.
a) Encontre todos os pontos de equilíbrio da equação acima e classifique-os quanto a sua estabilidade.
b) Para cada condição inicial
Passo 1
O enunciado pede para analisar a equação diferencial autônoma do modelo de Von Bertalanffy
onde
e
. Vamos tratar de encontrar os pontos de equilíbrio e classificar sua estabilidade, depois ver o que acontece com
conforme
.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos o termo de crescimento a zero:
Podemos fatorar
:
Logo as soluções são
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos
e sua derivada
– Em
: o termo
tende a
, logo
. Isso indica que
é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).
– Em : substituindo
– Em
Como a derivada é negativa,
é assintoticamente estável (atrator).
Passo 4
Para estudar
quando
, olhamos o sinal de
:
– Se , então
e
cresce até
.
– Se , então
e
decresce até
.
– Se , permanece em zero.
Portanto, para qualquer condição inicial , a solução tende a
conforme
.
– Se
– Se
– Se
Portanto, para qualquer condição inicial
Resposta
Os equilíbrios são
(instável) e
(assintoticamente estável). Para todo
, a solução satisfaz
; se
, permanece em zero.