Seja
é derivável em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes e pergunta se ela é derivável em x=0. Para isso precisamos verificar dois pontos: continuidade em x=0 e igualdade das derivadas laterais em x=0.
Passo 2
Primeiro, checamos a continuidade em x=0. Temos f(0) = 2·0 = 0. O limite pela esquerda é limₓ→0⁻ f(x) = limₓ→0⁻ (2x) = 0 e o limite pela direita é limₓ→0⁺ f(x) = limₓ→0⁺ (2x−x²) = 0. Como todos dão 0, f é contínua em x=0.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para x≤0 vale f(x)=2x, logo f′(x)=2. Portanto f′(0⁻)=2.
Passo 4
A derivada lateral pela direita usa f(x)=2x−x² para 0<x<2, cuja derivada é f′(x)=2−2x. Logo f′(0⁺)=2−2·0=2.
Passo 5
Como f é contínua em 0 e f′(0⁻)=f′(0⁺)=2, concluímos que f é derivável em x=0.
Resposta
Sim, f é derivável em x=0 e f’(0)=2.