Seja
f(x)=l2 x, se x <= 0, 2 x-x^2, se 0= 2 é derivável em f? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes e pergunta se ela é derivável em x=0. Para isso precisamos verificar dois pontos: continuidade em x=0 e igualdade das derivadas laterais em x=0.

Passo 2

Primeiro, checamos a continuidade em x=0. Temos f(0) = 2·0 = 0. O limite pela esquerda é limₓ→0⁻ f(x) = limₓ→0⁻ (2x) = 0 e o limite pela direita é limₓ→0⁺ f(x) = limₓ→0⁺ (2x−x²) = 0. Como todos dão 0, f é contínua em x=0.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para x≤0 vale f(x)=2x, logo f′(x)=2. Portanto f′(0⁻)=2.

Passo 4

A derivada lateral pela direita usa f(x)=2x−x² para 0<x<2, cuja derivada é f′(x)=2−2x. Logo f′(0⁺)=2−2·0=2.

Passo 5

Como f é contínua em 0 e f′(0⁻)=f′(0⁺)=2, concluímos que f é derivável em x=0.

Resposta

Sim, f é derivável em x=0 e f’(0)=2.

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