Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
\ln Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i}

Passo 1

O enunciado dá o seguinte modelo e pede que eu diga se ele é um modelo de regressão linear, com justificativa:
\ln Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}\left(\frac{1}{X_{i}}\right)+u_{i}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A variável dependente é \ln Y_{i}.
  • Há um termo constante \beta_{1}.
  • O regressor aparece como \dfrac{1}{X_{i}}.
  • Os parâmetros desconhecidos são \beta_{1} e \beta_{2}.
  • u_{i} é o termo de erro estocástico.
    A pergunta explícita: este modelo é (ou não é) um modelo de regressão linear? Justifique a resposta.

Passo 2

O que significa “modelo de regressão linear” (definição que vou usar aqui, passo a passo):
  • Um modelo é dito linear quando é linear em relação aos parâmetros (coefs). Isso quer dizer que o modelo pode ser escrito como combinação linear dos parâmetros multiplicados por funções conhecidas das variáveis explicativas e/ou constantes.
  • Em forma geral, um modelo linear em parâmetros tem a aparência
Y_i = \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \dots + \beta_k x_{ik} + u_i,
onde x_{ij} são valores conhecidos (ou funções conhecidas de variáveis observadas) e os \beta_j aparecem multiplicando esses x_{ij} de forma linear (nenhum \beta_j é, por exemplo, elevado a potências, multiplicado por outro \beta ou dentro de uma função não-linear).
  • Importante: “linear em parâmetros” é diferente de “linear nas variáveis”. As variáveis podem ser transformadas (log, inversa, quadrado, produto entre variáveis, etc.) e o modelo ainda pode ser linear se os parâmetros permanecerem em combinação linear.

Passo 3

Aplicando a definição ao modelo dado: defino a transformação
Z_i=\frac{1}{X_i}.
Substituindo, o modelo fica
\ln Y_i=\beta_1+\beta_2 Z_i+u_i.
Esta forma é exatamente a forma linear em parâmetros: é a combinação linear de \beta_1 e \beta_2 (com 1 como regressor para \beta_1 e Z_i como regressor para \beta_2). Portanto, estruturalmente o modelo é linear em relação aos parâmetros \beta_1 e \beta_2.

Passo 4

Consequências práticas e o que isso permite na prova:
  • Como o modelo é linear em parâmetros, pode-se estimar \beta_1 e \beta_2 por OLS (mínimos quadrados ordinários) simplesmente regressando \ln Y_i em uma constante e em Z_i=1/X_i.
  • As condições clássicas (por exemplo E[u_i\mid Z_i]=0, ausência de multicolinearidade perfeita, homocedasticidade e ausência de autocorrelação, quando relevantes) continuam sendo as hipóteses que garantem propriedades desejáveis do estimador OLS (não-viesado, eficiência sob Gauss–Markov, etc.). Note que qualquer hipótese sobre exogeneidade deve ser verificada em relação a Z_i, que é função de X_i.
  • Atenção prática: se X_i pode ser zero ou muito próximo de zero, Z_i fica muito grande ou indefinido; isso é um problema de especificação/medidas, não de linearidade em parâmetros.

Passo 5

Interpretação do coeficiente \beta_2 (a parte didática pedida):
  • Como a variável dependente é \ln Y_i, \beta_2 mede o efeito de uma unidade de mudança em Z_i=1/X_i sobre a variação de \ln Y_i. Ou seja,
\frac{\partial \ln Y_i}{\partial Z_i}=\beta_2.
  • Para relacionar o efeito direto de X_i sobre \ln Y_i, uso a regra da cadeia:
\frac{\partial \ln Y_i}{\partial X_i}=\frac{\partial \ln Y_i}{\partial Z_i}\cdot\frac{dZ_i}{dX_i} =\beta_2\cdot\left(-\frac{1}{X_i^{2}}\right)=-\frac{\beta_2}{X_i^{2}}.
  • Elasticidade de Y em relação a X (variação percentual de Y frente a variação percentual de X) é
\varepsilon_{Y,X}=\frac{\partial \ln Y_i}{\partial \ln X_i} =\frac{\partial \ln Y_i}{\partial X_i}\cdot X_i =-\frac{\beta_2}{X_i}.
Portanto a elasticidade depende do nível de X_i (não é constante).
  • Exemplo numérico rápido para fixar: suponha \beta_2=2.
    • Se X_i=1, então \varepsilon_{Y,X}=-\dfrac{2}{1}=-2. Ou seja, um aumento percentual de X (pequeno) reduz Y aproximadamente duas vezes essa porcentagem.
    • Se X_i=2, então \varepsilon_{Y,X}=-\dfrac{2}{2}=-1. Elasticidade menor em magnitude.

Passo 6

Possíveis problemas e observações que costumam aparecer em provas:
  • Transformar a variável explicativa em 1/X_i não viola a linearidade em parâmetros; é operação válida e comum.
  • Porém, transformar a variável pode gerar heterocedasticidade ou sensibilidade a observações com X_i pequenas, então em aplicações práticas costuma-se checar resíduos e usar erros padrão robustos se necessário.
  • Se houver suspeita de endogeneidade (por exemplo X_i correlacionado com u_i), a simples transformação não resolve o problema — seria necessário um instrumento para Z_i ou outro método apropriado.

Resposta

Sim. É um modelo de regressão linear porque é linear nos parâmetros: com Z_i=1/X_i escreve-se \ln Y_i=\beta_1+\beta_2 Z_i+u_i, forma adequada para estimar \beta_1,\beta_2 por OLS (desde que as hipóteses de exogeneidade e demais condições sejam satisfeitas).

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