Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte modelo e pede que eu diga se ele é um modelo de regressão linear, com justificativa:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A variável dependente é
. - Há um termo constante
. - O regressor aparece como
. - Os parâmetros desconhecidos são
e . -
é o termo de erro estocástico.
A pergunta explícita: este modelo é (ou não é) um modelo de regressão linear? Justifique a resposta.
Passo 2
O que significa “modelo de regressão linear” (definição que vou usar aqui, passo a passo):
- Um modelo é dito linear quando é linear em relação aos parâmetros (coefs). Isso quer dizer que o modelo pode ser escrito como combinação linear dos parâmetros multiplicados por funções conhecidas das variáveis explicativas e/ou constantes.
- Em forma geral, um modelo linear em parâmetros tem a aparência
onde
são valores conhecidos (ou funções conhecidas de variáveis observadas) e os
aparecem multiplicando esses
de forma linear (nenhum
é, por exemplo, elevado a potências, multiplicado por outro
ou dentro de uma função não-linear).
- Importante: “linear em parâmetros” é diferente de “linear nas variáveis”. As variáveis podem ser transformadas (log, inversa, quadrado, produto entre variáveis, etc.) e o modelo ainda pode ser linear se os parâmetros permanecerem em combinação linear.
Passo 3
Aplicando a definição ao modelo dado: defino a transformação
Substituindo, o modelo fica
Esta forma é exatamente a forma linear em parâmetros: é a combinação linear de
e
(com
como regressor para
e
como regressor para
). Portanto, estruturalmente o modelo é linear em relação aos parâmetros
e
.
Passo 4
Consequências práticas e o que isso permite na prova:
- Como o modelo é linear em parâmetros, pode-se estimar
e por OLS (mínimos quadrados ordinários) simplesmente regressando em uma constante e em . - As condições clássicas (por exemplo
, ausência de multicolinearidade perfeita, homocedasticidade e ausência de autocorrelação, quando relevantes) continuam sendo as hipóteses que garantem propriedades desejáveis do estimador OLS (não-viesado, eficiência sob Gauss–Markov, etc.). Note que qualquer hipótese sobre exogeneidade deve ser verificada em relação a , que é função de . - Atenção prática: se
pode ser zero ou muito próximo de zero, fica muito grande ou indefinido; isso é um problema de especificação/medidas, não de linearidade em parâmetros.
Passo 5
Interpretação do coeficiente
(a parte didática pedida):
- Como a variável dependente é
, mede o efeito de uma unidade de mudança em sobre a variação de . Ou seja,
- Para relacionar o efeito direto de
sobre , uso a regra da cadeia:
- Elasticidade de
em relação a (variação percentual de frente a variação percentual de ) é
Portanto a elasticidade depende do nível de
(não é constante).
- Exemplo numérico rápido para fixar: suponha
. - Se
, então . Ou seja, um aumento percentual de (pequeno) reduz aproximadamente duas vezes essa porcentagem. - Se
, então . Elasticidade menor em magnitude.
- Se
Passo 6
Possíveis problemas e observações que costumam aparecer em provas:
- Transformar a variável explicativa em
não viola a linearidade em parâmetros; é operação válida e comum. - Porém, transformar a variável pode gerar heterocedasticidade ou sensibilidade a observações com
pequenas, então em aplicações práticas costuma-se checar resíduos e usar erros padrão robustos se necessário. - Se houver suspeita de endogeneidade (por exemplo
correlacionado com ), a simples transformação não resolve o problema — seria necessário um instrumento para ou outro método apropriado.
Resposta
Sim. É um modelo de regressão linear porque é linear nos parâmetros: com
escreve-se
, forma adequada para estimar
por OLS (desde que as hipóteses de exogeneidade e demais condições sejam satisfeitas).