Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Y_{i}=\frac{1}{e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}}}

Passo 1

O enunciado fornece o modelo
Y_{i}=\frac{1}{e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}}}
e pede que eu diga se esse modelo é um modelo de regressão linear, justificando a resposta. Informações dadas que vou usar:
  • A forma funcional explícita de Y_{i} em termos de \beta_{1}, \beta_{2}, X_{i} e u_{i}.
  • Não há outras informações sobre distribuição de u_{i} ou dependência entre u_{i} e X_{i}; vou comentar quais hipóteses são necessárias para estimar por regressão linear.

Passo 2

O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
  • Um modelo é dito linear em parâmetros quando a variável dependente aparece como uma combinação linear dos parâmetros. Formalmente, um exemplo canônico é
Y_i = \beta_1 + \beta_2 X_i + \varepsilon_i,
onde os parâmetros \beta_1 e \beta_2 entram de forma linear (ou seja, aparecem multiplicando funções conhecidas de X_i ou somados).
  • Importante: “linear” refere-se à linearidade em relação aos parâmetros ( \beta), não necessariamente em relação a X. Por exemplo:
    • \;Y=\beta_1+\beta_2 X+\beta_3 X^2+\varepsilon\; é linear em parâmetros (pode ser estimado por regressão linear).
    • \;Y=\beta_1+\beta_2^2 X+\varepsilon\; NÃO é linear em parâmetros (porque aparece \beta_2^2).
    • \;Y=e^{\beta_1+\beta_2 X+\varepsilon}\; tipicamente NÃO é linear em parâmetros na forma original.

Passo 3

Manipulação algébrica do modelo dado:
  • Reescrevo a fração exponencial de forma mais simples:
Y_i = \frac{1}{e^{\beta_1+\beta_2 X_i+u_i}} = e^{-(\beta_1+\beta_2 X_i+u_i)}.
  • Tomando log natural dos dois lados (validade: Y_i>0 é satisfeita porque a exponencial é sempre positiva):
\ln Y_i = -(\beta_1+\beta_2 X_i+u_i).
  • Expandindo:
\ln Y_i = -\beta_1 - \beta_2 X_i - u_i.

Passo 4

Interpretação após a transformação (a parte didática que salva a prova):
  • A equação obtida em logs é
\ln Y_i = -\beta_1 - \beta_2 X_i - u_i.
  • Definindo \gamma_1 = -\beta_1, \gamma_2 = -\beta_2 e \varepsilon_i = -u_i, escreve-se
\ln Y_i = \gamma_1 + \gamma_2 X_i + \varepsilon_i,
que é um modelo linear em parâmetros \gamma_1,\gamma_2. Ou seja, embora o modelo original em níveis não seja linear em parâmetros, após a transformação logarítmica ele passa a ser um modelo de regressão linear clássico (linha reta entre \ln Y e X).
  • Observação prática: ao estimar por OLS a regressão de \ln Y_i em X_i, os estimadores obtidos serão estimadores para \gamma; para recuperar \beta basta inverter o sinal.

Passo 5

Cuidado com interpretações e hipóteses (coisa que cai na prova):
  • Se a hipótese clássica for E[u_i\mid X_i]=0, então E[\varepsilon_i\mid X_i]=E[-u_i\mid X_i]=0, e a regressão linear de \ln Y_i em X_i tem as propriedades usuais (consistência, não-viesamento sob as hipóteses adequadas).
  • Porém, atenção: estimar a equação em log fornece informações sobre E[\ln Y_i\mid X_i], não diretamente sobre E[Y_i\mid X_i]. Em particular,
E[Y_i\mid X_i]=e^{-(\beta_1+\beta_2 X_i)}\;E[e^{-u_i}\mid X_i],
e geralmente E[e^{-u_i}\mid X_i]\neq 1 mesmo se E[u_i\mid X_i]=0 (pelo viés de Jensen). Então, para prever E[Y\mid X] a partir da regressão em logs é preciso fazer ajuste (por exemplo, estimar E[e^{-u_i}] ou assumir uma forma específica para a distribuição de u_i).
  • Resumindo: a transformação log torna o modelo estimável por regressão linear e as hipóteses clássicas sobre erro podem ser usadas sobre \varepsilon_i=-u_i, mas a interpretação de coeficientes e a recuperação de médias em níveis exigem cuidado.

Passo 6

Conclusão final curta e direta (a mesma que vai aparecer no campo de resposta):
  • O modelo original em níveis não é um modelo de regressão linear (os parâmetros estão no expoente, não aparecem linearmente).
  • Contudo, ao aplicar \ln obtém-se um modelo linear em parâmetros, então pode-se estimar uma regressão linear para \ln Y_i e depois converter resultados para os parâmetros originais, lembrando dos cuidados de interpretação e do possível viés ao voltar para a escala de Y.

Resposta

Não: o modelo em níveis \;Y_{i}=e^{-(\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i})}\; não é linear em parâmetros. Porém, tomando log obtém-se \;\ln Y_i=-\beta_1-\beta_2 X_i-u_i\;, que é um modelo de regressão linear em parâmetros (com reparametrização \gamma_1=-\beta_1,\\ \gamma_2=-\beta_2).

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