Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece o modelo
e pede que eu diga se esse modelo é um modelo de regressão linear, justificando a resposta. Informações dadas que vou usar:
- A forma funcional explícita de
em termos de , , e . - Não há outras informações sobre distribuição de
ou dependência entre e ; vou comentar quais hipóteses são necessárias para estimar por regressão linear.
Passo 2
O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
- Um modelo é dito linear em parâmetros quando a variável dependente aparece como uma combinação linear dos parâmetros. Formalmente, um exemplo canônico é
onde os parâmetros
e
entram de forma linear (ou seja, aparecem multiplicando funções conhecidas de
ou somados).
- Importante: “linear” refere-se à linearidade em relação aos parâmetros (
), não necessariamente em relação a . Por exemplo: -
é linear em parâmetros (pode ser estimado por regressão linear). -
NÃO é linear em parâmetros (porque aparece ). -
tipicamente NÃO é linear em parâmetros na forma original.
-
Passo 3
Manipulação algébrica do modelo dado:
- Reescrevo a fração exponencial de forma mais simples:
- Tomando log natural dos dois lados (validade:
é satisfeita porque a exponencial é sempre positiva):
- Expandindo:
Passo 4
Interpretação após a transformação (a parte didática que salva a prova):
- A equação obtida em logs é
- Definindo
, e , escreve-se
que é um modelo linear em parâmetros
. Ou seja, embora o modelo original em níveis não seja linear em parâmetros, após a transformação logarítmica ele passa a ser um modelo de regressão linear clássico (linha reta entre
e
).
- Observação prática: ao estimar por OLS a regressão de
em , os estimadores obtidos serão estimadores para ; para recuperar basta inverter o sinal.
Passo 5
Cuidado com interpretações e hipóteses (coisa que cai na prova):
- Se a hipótese clássica for
, então , e a regressão linear de em tem as propriedades usuais (consistência, não-viesamento sob as hipóteses adequadas). - Porém, atenção: estimar a equação em log fornece informações sobre
, não diretamente sobre . Em particular,
e geralmente
mesmo se
(pelo viés de Jensen). Então, para prever
a partir da regressão em logs é preciso fazer ajuste (por exemplo, estimar
ou assumir uma forma específica para a distribuição de
).
- Resumindo: a transformação log torna o modelo estimável por regressão linear e as hipóteses clássicas sobre erro podem ser usadas sobre
, mas a interpretação de coeficientes e a recuperação de médias em níveis exigem cuidado.
Passo 6
Conclusão final curta e direta (a mesma que vai aparecer no campo de resposta):
- O modelo original em níveis não é um modelo de regressão linear (os parâmetros estão no expoente, não aparecem linearmente).
- Contudo, ao aplicar
obtém-se um modelo linear em parâmetros, então pode-se estimar uma regressão linear para e depois converter resultados para os parâmetros originais, lembrando dos cuidados de interpretação e do possível viés ao voltar para a escala de .
Resposta
Não: o modelo em níveis
não é linear em parâmetros. Porém, tomando log obtém-se
, que é um modelo de regressão linear em parâmetros (com reparametrização
).