Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se o seguinte modelo é um modelo de regressão linear e pede justificativa:
Informações dadas que vou usar:
- A forma funcional do modelo está explicitada acima.
- Não há informação extra sobre o sinal de
nem sobre a distribuição de . - A pergunta exige justificar se o modelo é (ou não é) um modelo de regressão linear.
Passo 2
O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
- Um modelo de regressão é dito linear quando é linear nos parâmetros. Isso quer dizer que a variável dependente pode ser escrita como soma linear dos parâmetros multiplicados por funções conhecidas das variáveis explicativas, mais um erro aditivo.
- Forma canônica (um exemplo simples):
onde cada parâmetro
aparece multiplicando uma função conhecida (aqui
ou
) e não dentro de funções não-lineares (como exponencial, produto entre parâmetros, potência não unitária, etc.).
- Forma geral linear em parâmetros:
onde os
são funções conhecidas (podem depender de
mas não de
). A chave é: os
aparecem apenas em termos linearmente somados.
Passo 3
Análise direta do modelo em níveis:
- Reescrevendo o modelo dado:
- Os parâmetros
e aparecem dentro de uma função exponencial. Isso significa que, enquanto escrevemos em níveis, os parâmetros não aparecem de forma linear (não dá para escrever como soma de termos vezes funções conhecidas dos dados). - Conclusão parcial: em níveis, o modelo NÃO é linear em parâmetros; portanto não é um modelo de regressão linear (no sentido usual usado em econometria/regressão).
Passo 4
Transformação que torna o modelo linear em parâmetros:
- Se
(condição necessária para tomar log), pode-se aplicar o log natural:
- Depois dessa transformação,
é expressa como soma linear em e com erro aditivo . Isto é exatamente a forma de um modelo de regressão linear (linear em parâmetros). - Portanto, o modelo é linear em parâmetros após a transformação logaritmo da variável dependente, desde que seja possível matar o log (ou seja,
).
Passo 5
Discussão das hipóteses sobre o erro e implicações práticas (aula curta e útil para prova):
- No modelo transformado
, para aplicar OLS e obter boas propriedades é preciso que obedeça às hipóteses clássicas (por exemplo, , homocedasticidade, não autocorrelação, etc.). Essas hipóteses são sobre o já na escala do log. - Se originalmente se pensava em um erro multiplicativo
com , então e a média condicional em níveis coincide com a exponenciação da parte determinística. Mas atenção: a suposição não é equivalente a ; são suposições diferentes. Na prática, ao estimar por OLS em costuma-se assumir . - Sobre previsão em níveis: mesmo estimando bem
em , a previsão de em níveis não é simplesmente sem correção, porque
e
pode ser diferente de
. Em provas, costuma-se mencionar o fator de correção (por exemplo para
,
).
Passo 6
Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia (bem prático):
- Suponha
, , e . Em níveis:
Para
,
. Para
,
.
- Agora tome log:
, que é uma regressão linear perfeita com erro zero. Isso mostra concretamente que a transformação log traz linearidade nos parâmetros.
Passo 7
Resumo/Resposta final (curto e direto para revisar na prova)
Resposta
Não — em níveis
não é um modelo de regressão linear porque os parâmetros
aparecem dentro da função exponencial (não são lineares nos parâmetros). Contudo, se
pode-se transformar tomando log:
, que é um modelo de regressão linear em
(desde que as hipóteses sobre
sejam satisfeitas).