Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Y_{i}=e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}}

Passo 1

O enunciado pergunta se o seguinte modelo é um modelo de regressão linear e pede justificativa:
Y_{i}=e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}}.
Informações dadas que vou usar:
  • A forma funcional do modelo está explicitada acima.
  • Não há informação extra sobre o sinal de Y_{i} nem sobre a distribuição de u_{i}.
  • A pergunta exige justificar se o modelo é (ou não é) um modelo de regressão linear.

Passo 2

O que significa “modelo de regressão linear” (explicação didática):
  • Um modelo de regressão é dito linear quando é linear nos parâmetros. Isso quer dizer que a variável dependente pode ser escrita como soma linear dos parâmetros multiplicados por funções conhecidas das variáveis explicativas, mais um erro aditivo.
  • Forma canônica (um exemplo simples):
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i,
onde cada parâmetro \beta_j aparece multiplicando uma função conhecida (aqui 1 ou X_i) e não dentro de funções não-lineares (como exponencial, produto entre parâmetros, potência não unitária, etc.).
  • Forma geral linear em parâmetros:
Y_i=\sum_{j=1}^{p}\beta_j z_{ij}+\varepsilon_i,
onde os z_{ij} são funções conhecidas (podem depender de X_i mas não de \beta). A chave é: os \beta_j aparecem apenas em termos linearmente somados.

Passo 3

Análise direta do modelo em níveis:
  • Reescrevendo o modelo dado:
Y_{i}=e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}} = e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}}\cdot e^{u_{i}}.
  • Os parâmetros \beta_{1} e \beta_{2} aparecem dentro de uma função exponencial. Isso significa que, enquanto escrevemos Y_i em níveis, os parâmetros não aparecem de forma linear (não dá para escrever Y_i como soma de termos \beta_j vezes funções conhecidas dos dados).
  • Conclusão parcial: em níveis, o modelo NÃO é linear em parâmetros; portanto não é um modelo de regressão linear (no sentido usual usado em econometria/regressão).

Passo 4

Transformação que torna o modelo linear em parâmetros:
  • Se Y_i>0 (condição necessária para tomar log), pode-se aplicar o log natural:
\ln Y_{i} = \beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}.
  • Depois dessa transformação, \ln Y_i é expressa como soma linear em \beta_{1} e \beta_{2} com erro aditivo u_i. Isto é exatamente a forma de um modelo de regressão linear (linear em parâmetros).
  • Portanto, o modelo é linear em parâmetros após a transformação logaritmo da variável dependente, desde que seja possível matar o log (ou seja, Y_i>0).

Passo 5

Discussão das hipóteses sobre o erro e implicações práticas (aula curta e útil para prova):
  • No modelo transformado \ln Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}, para aplicar OLS e obter boas propriedades é preciso que u_i obedeça às hipóteses clássicas (por exemplo, E[u_i\mid X_i]=0, homocedasticidade, não autocorrelação, etc.). Essas hipóteses são sobre o u_i já na escala do log.
  • Se originalmente se pensava em um erro multiplicativo e^{u_i} com E[e^{u_i}\mid X_i]=1, então E[Y_i\mid X_i]=e^{\beta_1+\beta_2 X_i} e a média condicional em níveis coincide com a exponenciação da parte determinística. Mas atenção: a suposição E[u_i\mid X_i]=0 não é equivalente a E[e^{u_i}\mid X_i]=1; são suposições diferentes. Na prática, ao estimar por OLS em \ln Y costuma-se assumir E[u_i\mid X_i]=0.
  • Sobre previsão em níveis: mesmo estimando bem \beta em \ln Y, a previsão de Y em níveis não é simplesmente \exp(\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2 X) sem correção, porque
E[Y_i\mid X_i]=e^{\beta_1+\beta_2 X_i}E[e^{u_i}\mid X_i],
e E[e^{u_i}\mid X_i] pode ser diferente de 1. Em provas, costuma-se mencionar o fator de correção (por exemplo para u_i\sim N(0,\sigma^2), E[e^{u_i}]=e^{\sigma^2/2}).

Passo 6

Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia (bem prático):
  • Suponha \beta_1=1, \beta_2=2, X_i=0,1 e u_i=0. Em níveis:
Y_i = e^{1+2X_i}.
Para X_i=0, Y_i=e^{1}. Para X_i=1, Y_i=e^{3}.
  • Agora tome log: \ln Y_i = 1+2X_i, que é uma regressão linear perfeita com erro zero. Isso mostra concretamente que a transformação log traz linearidade nos parâmetros.

Passo 7

Resumo/Resposta final (curto e direto para revisar na prova)

Resposta

Não — em níveis \,Y_{i}=e^{\beta_{1}+\beta_{2} X_{i}+u_{i}}\, não é um modelo de regressão linear porque os parâmetros \beta_{1},\beta_{2} aparecem dentro da função exponencial (não são lineares nos parâmetros). Contudo, se Y_{i}>0 pode-se transformar tomando log: \ln Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}X_{i}+u_{i}, que é um modelo de regressão linear em \ln Y (desde que as hipóteses sobre u_{i} sejam satisfeitas).

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