Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}^{3} X_{i}+u_{i}

Passo 1

O enunciado dá o modelo
Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}^{3} X_{i}+u_{i}
e pergunta se esse modelo é um modelo de regressão linear, pedindo justificativa. As informações relevantes que o enunciado fornece são:
  • A variável dependente é Y_{i}.
  • Há um termo constante \beta_{1}.
  • Há um regressor X_{i} multiplicado por \beta_{2}^{3} (o parâmetro \beta_{2} elevado ao cubo).
  • Há um termo de erro u_{i}.

Passo 2

O que significa “modelo de regressão linear”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática e importante: um modelo de regressão é chamado de “linear” quando é linear nos parâmetros desconhecidos (nos coeficientes que queremos estimar). Isso quer dizer que cada coeficiente aparece com multiplicação por funções conhecidas de observáveis ou constantes, mas não aparece em funções não lineares envolvendo o próprio coeficiente.
Mais formalmente: um modelo tem a forma linear nos parâmetros se pode ser escrito como
Y_i = \alpha_1 z_{1i} + \alpha_2 z_{2i} + \cdots + \alpha_k z_{ki} + u_i,
onde \alpha_j são os parâmetros a estimar e z_{ji} são funções conhecidas das variáveis observadas (podem ser 1, X_i, X_i^2, \sin(X_i), etc.). Observe que é permitido que os regressors z_{ji} dependam de X_i de maneira não linear; o que não é permitido é que os próprios parâmetros \alpha_j apareçam em forma não linear (como \alpha_j^2, e^{\alpha_j}, \alpha_j^3, etc.).
Dica rápida: “linear” refere-se a linearidade em parâmetros, não necessariamente em X.

Passo 3

Aplique a definição ao modelo dado. No modelo
Y_{i}=\beta_{1}+\beta_{2}^{3} X_{i}+u_{i},
os parâmetros originais são \beta_{1} e \beta_{2}. Repare que \beta_{1} aparece de forma linear (multiplicando 1). Mas \beta_{2} aparece elevado ao cubo, ou seja, aparece de forma não linear: \beta_{2}^{3}.
Concluindo dessa observação: o modelo NÃO é linear nos parâmetros originais \beta_{1} e \beta_{2}, porque um dos parâmetros ( \beta_{2}) entra na forma \beta_{2}^{3}, que é não linear em \beta_{2}. Portanto, estritamente falando, esse modelo é um modelo de regressão não linear (não linear nos parâmetros).

Passo 4

Mas há uma sutileza útil para provas e para estimar o modelo: pode-se reparametrizar.
Defina um novo parâmetro
\gamma \equiv \beta_{2}^{3}.
Substituindo no modelo obtemos
Y_{i}=\beta_{1}+\gamma X_{i}+u_{i}.
Esse modelo é linear em \beta_{1} e em \gamma (está exatamente na forma linear em parâmetros). Assim, se o objetivo for estimar \beta_{1} e \gamma, pode-se aplicar os métodos de regressão linear (por exemplo OLS) e obter estimadores padrão para \beta_{1} e \gamma.
Importante: reparametrizar muda o que se estima diretamente — agora o estimador é \hat\gamma, que corresponde a \beta_{2}^{3}, não a \beta_{2} em si.

Passo 5

O que acontece se eu quiser estimar \beta_{2} (o parâmetro original)? Como \gamma=\beta_{2}^{3}, uma estimativa natural seria
\hat\beta_{2} = \hat\gamma^{\,1/3},
ou seja, a raiz cúbica do estimador de \gamma. Algumas observações práticas e teóricas:
  • A função g(x)=x^{1/3} é bem definida para números reais positivos, zero e negativos (a raiz cúbica de um número negativo é negativa). Então a inversão é única no conjunto dos reais — não há ambiguidade de sinal.
  • Mesmo que \hat\gamma venha de OLS e seja (assintoticamente) normal sob hipóteses clássicas, \hat\beta_{2} = g(\hat\gamma) é uma transformação não linear de \hat\gamma. Para obter variância assintótica de \hat\beta_{2} usa-se o método do delta (delta method).
  • Se o objetivo da prova for apenas dizer se o modelo é “linear” no sentido usual, a resposta deve considerar os parâmetros originais: não é linear.

Passo 6

Resumo didático e resposta curta (para decorar na prova):
  • Se a pergunta for “o modelo é linear nos parâmetros \beta_{1} e \beta_{2}?”: NÃO. Porque \beta_{2} aparece como \beta_{2}^{3}, não de forma linear.
  • Se a pergunta for “pode-se transformar esse modelo numa forma linear para estimar por OLS?”: SIM, reparametrizando com \gamma=\beta_{2}^{3} obtém-se o modelo linear Y_i=\beta_1+\gamma X_i+u_i; assim \beta_1 e \gamma podem ser estimados por OLS, e \beta_2 recuperado por \hat\beta_2=\hat\gamma^{1/3} (com inferência via delta method).

Resposta

Não é um modelo de regressão linear nos parâmetros \beta_{1} e \beta_{2}, porque \beta_{2} aparece elevado ao cubo (não linear em \beta_{2}).
No entanto, reparametrizando com \gamma=\beta_{2}^{3} obtém-se o modelo linear Y_{i}=\beta_{1}+\gamma X_{i}+u_{i}, que pode ser estimado por OLS; a seguir \beta_{2} pode ser recuperado como \beta_{2}=\gamma^{1/3}.

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