Os modelos a seguir são modelos de regressão linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o modelo
e pergunta se esse modelo é um modelo de regressão linear, pedindo justificativa. As informações relevantes que o enunciado fornece são:
- A variável dependente é
. - Há um termo constante
. - Há um regressor
multiplicado por (o parâmetro elevado ao cubo). - Há um termo de erro
.
Passo 2
O que significa “modelo de regressão linear”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática e importante: um modelo de regressão é chamado de “linear” quando é linear nos parâmetros desconhecidos (nos coeficientes que queremos estimar). Isso quer dizer que cada coeficiente aparece com multiplicação por funções conhecidas de observáveis ou constantes, mas não aparece em funções não lineares envolvendo o próprio coeficiente.
Mais formalmente: um modelo tem a forma linear nos parâmetros se pode ser escrito como
onde
são os parâmetros a estimar e
são funções conhecidas das variáveis observadas (podem ser
,
,
,
, etc.). Observe que é permitido que os regressors
dependam de
de maneira não linear; o que não é permitido é que os próprios parâmetros
apareçam em forma não linear (como
,
,
, etc.).
Dica rápida: “linear” refere-se a linearidade em parâmetros, não necessariamente em
.
Passo 3
Aplique a definição ao modelo dado. No modelo
os parâmetros originais são
e
. Repare que
aparece de forma linear (multiplicando
). Mas
aparece elevado ao cubo, ou seja, aparece de forma não linear:
.
Concluindo dessa observação: o modelo NÃO é linear nos parâmetros originais
e
, porque um dos parâmetros (
) entra na forma
, que é não linear em
. Portanto, estritamente falando, esse modelo é um modelo de regressão não linear (não linear nos parâmetros).
Passo 4
Mas há uma sutileza útil para provas e para estimar o modelo: pode-se reparametrizar.
Defina um novo parâmetro
Substituindo no modelo obtemos
Esse modelo é linear em
e em
(está exatamente na forma linear em parâmetros). Assim, se o objetivo for estimar
e
, pode-se aplicar os métodos de regressão linear (por exemplo OLS) e obter estimadores padrão para
e
.
Importante: reparametrizar muda o que se estima diretamente — agora o estimador é
, que corresponde a
, não a
em si.
Passo 5
O que acontece se eu quiser estimar
(o parâmetro original)? Como
, uma estimativa natural seria
ou seja, a raiz cúbica do estimador de
. Algumas observações práticas e teóricas:
- A função
é bem definida para números reais positivos, zero e negativos (a raiz cúbica de um número negativo é negativa). Então a inversão é única no conjunto dos reais — não há ambiguidade de sinal. - Mesmo que
venha de OLS e seja (assintoticamente) normal sob hipóteses clássicas, é uma transformação não linear de . Para obter variância assintótica de usa-se o método do delta (delta method). - Se o objetivo da prova for apenas dizer se o modelo é “linear” no sentido usual, a resposta deve considerar os parâmetros originais: não é linear.
Passo 6
Resumo didático e resposta curta (para decorar na prova):
- Se a pergunta for “o modelo é linear nos parâmetros
e ?”: NÃO. Porque aparece como , não de forma linear. - Se a pergunta for “pode-se transformar esse modelo numa forma linear para estimar por OLS?”: SIM, reparametrizando com
obtém-se o modelo linear ; assim e podem ser estimados por OLS, e recuperado por (com inferência via delta method).
Resposta
Não é um modelo de regressão linear nos parâmetros
e
, porque
aparece elevado ao cubo (não linear em
).
No entanto, reparametrizando com obtém-se o modelo linear
, que pode ser estimado por OLS; a seguir
pode ser recuperado como
.
No entanto, reparametrizando com